Упр.583 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точки $$M$$ и $$N$$ — середины оснований $$AB$$ и $$CD$$ трапеции $$ABCD$$, а $$O$$ — произвольная точка пространства. Выразите вектор $$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}$$ через векторы $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$\vec{OM}=\vec{OA}+\vec{AM}$$ и $$\vec{ON}=\vec{OA}+\vec{AD}+\vec{DN}.$$ Тогда

$$\vec{OM}-\vec{ON} = (\vec{OA}+\vec{AM})-(\vec{OA}+\vec{AD}+\vec{DN}) = \vec{AM}-\vec{AD}-\vec{DN}.$$

Так как $$M$$ и $$N$$ — середины оснований трапеции, то $$\vec{AM}=-\vec{BM}$$ и $$\vec{DN}=-\vec{NC}$$. Кроме того, в трапеции $$AB \parallel CD$$, поэтому

$$\vec{AM}=\frac12\vec{AB}, \qquad \vec{DN}=\frac12\vec{DC}.$$

Тогда

$$\vec{OM}-\vec{ON} = \frac12\vec{AB}-\vec{AD}-\frac12\vec{DC}.$$

Но в трапеции $$\vec{AB}=\vec{AD}+\vec{DC}+\vec{CB}$$, значит

$$\vec{OM}-\vec{ON} = \frac12(\vec{AD}+\vec{DC}+\vec{CB})-\vec{AD}-\frac12\vec{DC} = -\frac12\vec{AD}-\frac12\vec{BC}.$$

$$\vec{OM}-\vec{ON}=-\frac12\left(\vec{AD}+\vec{BC}\right).$$

Ответ: $$-\frac12\left(\vec{AD}+\vec{BC}\right).$$