Упр.583 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точки M и N — середины оснований AB и CD трапеции ABCD, а O — произвольная точка пространства. Выразите вектор OM — ON через векторы AD и ВС.

Подробный ответ

Обозначим через $$M$$ и $$N$$ середины оснований $$AB$$ и $$CD$$ соответственно, а точку $$O$$ возьмём произвольной.

Тогда

$$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}, \qquad \overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}.$$

Вычтем:

$$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DN}.$$

Так как $$M$$ и $$N$$ — середины оснований трапеции, то

$$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \qquad \overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}.$$

Кроме того, в трапеции $$ABCD$$ основания параллельны, поэтому

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$$

и удобнее рассмотреть вектор $$\overrightarrow{MN}$$. Имеем:

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DN}.$$

Но

$$\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AD},$$

значит

$$\overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}.$$

Умножим на $${2}$$:

$$2\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{DN}.$$

Так как $$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC},$$ получаем

$$2\overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}.$$

В трапеции $$ABCD$$ выполняется $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$$, поэтому

$$2\overrightarrow{MN}=-\bigl(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\bigr)+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\bigl(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}\bigr).$$

Но по построению

$$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{NM},$$

а значит

$$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}=-\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\bigl(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD}\bigr).$$