Упр.582 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Точки $$E$$ и $$F$$ — середины оснований $$AB$$ и $$BC$$ параллелограмма $$ABCD$$, а $$O$$ — произвольная точка пространства. Выразите:
а) вектор $$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}$$ через вектор $$\overrightarrow{EF}$$;
б) вектор $$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OE}$$ через вектор $$\overrightarrow{DC}$$.
а) Рассмотрим вектор $$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}.$$
Так как $$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC},$$ то
$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AC}.$$
Точки $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, значит, в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$EF$$ является средней линией. Поэтому
$$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC},$$
откуда
$$-\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{EF}.$$
Следовательно,
$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{EF}.$$
б) Рассмотрим вектор $$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OE}.$$
Так как $$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{EA},$$ то
$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{EA}.$$
Но удобнее записать сразу:
$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OE}=-\overrightarrow{EA}.$$
Поскольку $$E$$ — середина $$AB$$, то $$AE=\frac{1}{2}AB.$$ В параллелограмме $$ABCD$$ имеем $$AB=DC$$, значит
$$\overrightarrow{EA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}.$$
Тогда
$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OE}=-\overrightarrow{EA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}.$$
Ответ: а) $$-2\overrightarrow{EF}$$; б) $$-\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$$.
