Упр.582 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точки E и F — середины оснований AB и BC параллелограмма ABCD, а O — произвольная точка пространства. Выразите: а) вектор OA — OC через вектор EF; б) вектор OA — OE через вектор DC.

а) Так как $$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC},$$ то

$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AC}.$$

Точки $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$, значит, $$EF$$ — средняя линия. Поэтому

$$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC},$$

откуда

$$-\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{EF}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{EF}.$$

б) Так как $$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{EA},$$ то

$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{EA}.$$

В параллелограмме $$ABCD$$ имеем $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$$, а поскольку $$E$$ — середина $$AB$$, то

$$\overrightarrow{EA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}.$$

Значит,

$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OE}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}.$$

Ответ

а) $$-2\overrightarrow{EF}$$; б) $$-\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$$.