Упр.581 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагонали куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите число $$k$$ такое, что:
   а) $$AB=k\cdot CD$$;
   б) $$AC_1=k\cdot AO$$;
   в) $$OB_1=k\cdot B_1D$$.

Пусть ребро куба равно $$a$$.

а) Противоположные рёбра куба параллельны и равны, но направлены в разные стороны, поэтому

$$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{CD}, \qquad k=-1.$$

б) Точка $$O$$ — центр куба, значит, она делит пространственную диагональ $$AC_1$$ пополам. Тогда

$$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC_1}.$$

Отсюда

$$\overrightarrow{AC_1}=2\overrightarrow{AO},$$

то есть

$$k=2.$$

в) Точка $$O$$ — середина диагонали $$B_1D$$, поэтому

$$\overrightarrow{OB_1}=-\overrightarrow{B_1O}.$$

Так как $$O$$ — середина $$B_1D$$, то

$$\overrightarrow{B_1D}=2\overrightarrow{B_1O}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{OB_1}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1D},$$

значит,

$$k=-\frac{1}{2}.$$

Ответ: а) $$-1$$; б) $$2$$; в) $$-\frac{1}{2}$$.