Упр.580 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Известно, что $$AO=-AB$$. Докажите, что точки A и B симметричны относительно точки O.

Подробный ответ

Пусть $$\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{AB}.$$ Тогда

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}.$$

Подставим данное условие:

$$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OB}.$$

Отсюда

$$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{AB}.$$

Но из условия $$\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{AB}$$ следует, что векторы $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{AB}$$ противоположны, значит точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой. Кроме того,

$$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OB}.$$

Следовательно, точка $$O$$ является серединой отрезка $$AB$$, а точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно точки $$O$$.

Ответ: точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно точки $$O$$.