Упр.580 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Известно, что AO = — AB. Докажите, что точки A и B симметричны 2 относительно точки О.

Подробный ответ

Пусть $$\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{AB}.$$ Тогда

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}.$$

Подставим данное условие:

$$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OB}.$$

Отсюда

$$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{AB}.$$

Но из условия $$\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{AB}$$ следует, что

$$\overrightarrow{OB}=-2\overrightarrow{AO}.$$

Значит, векторы $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{OB}$$ коллинеарны, равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Следовательно, точки $$A$$ и $$B$$ лежат на одной прямой с точкой $$O$$, причём $$OA=OB$$.

Итак, точка $$O$$ является серединой отрезка $$AB$$, а значит, точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно точки $$O$$.