Упр.579 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Точка P — вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма всех векторов с началом в точке P, образованных боковыми рёбрами пирамиды, равна сумме всех векторов с началом в точке P, образованных апофемами.

Пусть $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6P$$ — правильная шестиугольная пирамида. Обозначим через $$H_1,H_2,H_3,H_4,H_5,H_6$$ основания апофем, проведённых из вершины $$P$$ к сторонам $$A_1A_2,\ A_2A_3,\dots,\ A_6A_1$$.

Рассмотрим, например, грань $$PA_1A_2$$. Так как пирамида правильная, то треугольник $$PA_1A_2$$ равнобедренный, а точка $$H_1$$ — середина стороны $$A_1A_2$$. Поэтому

$$\overrightarrow{PA_1}=\overrightarrow{PH_1}+\overrightarrow{H_1A_1},\qquad \overrightarrow{PA_2}=\overrightarrow{PH_1}+\overrightarrow{H_1A_2}.$$

Но $$H_1A_1=H_1A_2$$, следовательно, векторы $$\overrightarrow{H_1A_1}$$ и $$\overrightarrow{H_1A_2}$$ равны по модулю и противоположно направлены, значит

$$\overrightarrow{H_1A_1}+\overrightarrow{H_1A_2}=\vec 0.$$

Тогда

$$\overrightarrow{PA_1}+\overrightarrow{PA_2}=2\overrightarrow{PH_1}.$$

Аналогично для остальных граней получаем:

$$\overrightarrow{PA_2}+\overrightarrow{PA_3}=2\overrightarrow{PH_2},$$
$$\overrightarrow{PA_3}+\overrightarrow{PA_4}=2\overrightarrow{PH_3},$$
$$\overrightarrow{PA_4}+\overrightarrow{PA_5}=2\overrightarrow{PH_4},$$
$$\overrightarrow{PA_5}+\overrightarrow{PA_6}=2\overrightarrow{PH_5},$$
$$\overrightarrow{PA_6}+\overrightarrow{PA_1}=2\overrightarrow{PH_6}.$$

Сложим все эти равенства:

$$2\sum_{i=1}^{6}\overrightarrow{PA_i}=2\sum_{i=1}^{6}\overrightarrow{PH_i}.$$

Сокращая на $$2$$, получаем

$$\sum_{i=1}^{6}\overrightarrow{PA_i}=\sum_{i=1}^{6}\overrightarrow{PH_i}.$$

Это и требовалось доказать.