Упр.578 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием четырехугольной пирамиды с вершиной $$P$$ является трапеция $$ABCD$$. Точка $$O$$ — середина средней линии трапеции. Докажите, что $$PA + PB + PC + PD = 4PO$$.
Обозначим через $$M$$ и $$N$$ середины боковых сторон $$AD$$ и $$BC$$ трапеции $$ABCD$$. Тогда $$MN$$ — средняя линия трапеции, а точка $$O$$ — её середина, значит $$MO=ON$$ и точки $$M,O,N$$ лежат на одной прямой.
Рассмотрим векторы от точки $$P$$:
$$\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AO},\qquad \overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BO},\qquad \overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CO},\qquad \overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DO}.$$
Сложим эти равенства:
$$4\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}.$$
Осталось доказать, что
$$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{0}.$$
Так как $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AD$$ и $$BC$$, то
$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MD},\qquad \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}.$$
Кроме того,
$$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MO},\qquad \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NO},$$
$$\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MO},\qquad \overrightarrow{CO}=\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{NO}.$$
Так как $$MO=ON$$ и точки $$M,O,N$$ лежат на одной прямой, то
$$\overrightarrow{MO}=-\overrightarrow{NO}.$$
Тогда
$$\begin{aligned} \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO} &=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MO})+(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NO})+(\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{NO})+(\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MO})\\ &=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DM})+(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{NO})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{NO})\\ &=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}. \end{aligned}$$
Следовательно,
$$4\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}.$$
Что и требовалось доказать.
