Упр.577 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дана треугольная призма ABCA1B1C1. Укажите вектор x, начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что: а) AA1 + + B1C- x = BA; б) AC1 — BB1 + x = AB; в) AB1 + x = AC — x + BC1.

Подробный ответ

Обозначим искомый вектор через $$\vec{x}$$ и будем использовать свойства векторов треугольной призмы: равенство параллельных и равных по длине рёбер, а также правило сложения векторов.

а) Из равенства

$$\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{B_1C}-\vec{x}=\overrightarrow{BA}$$

получаем

$$\vec{x}=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{B_1C}-\overrightarrow{BA}.$$

Так как в призме $$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}$$, то

$$\vec{x}=\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{B_1C}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}.$$

б) Из равенства

$$\overrightarrow{AC_1}-\overrightarrow{BB_1}+\vec{x}=\overrightarrow{AB}$$

находим

$$\vec{x}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{BB_1}.$$

Поскольку $$\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC_1}$$ и $$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{BB_1}$$, то

$$\vec{x}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{C_1A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{C_1B_1}.$$

в) Из равенства

$$\overrightarrow{AB_1}+\vec{x}=\overrightarrow{AC}-\vec{x}+\overrightarrow{BC_1}$$

получаем

$$2\vec{x}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC_1}-\overrightarrow{AB_1}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{B_1C},$$

значит

$$2\vec{x}=\overrightarrow{B_1C}+\overrightarrow{BC_1}.$$

Но в призме $$\overrightarrow{B_1C}=\overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{BC_1}=\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}$$, причём $$\overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{BB_1}=\vec{0}$$, а $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B_1C_1}$$. Тогда

$$2\vec{x}=2\overrightarrow{BC},$$

следовательно,

$$\vec{x}=\overrightarrow{BC}.$$