Упр.575 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дан параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Докажите, что $$OA+OC_1=OC+OA_1$$, где $$O$$ — произвольная точка пространства.

Рассмотрим векторы $$\overrightarrow{OA}$$ и $$\overrightarrow{OC_1}$$.

Запишем их через точку $$A_1$$ и точку $$C$$ соответственно:

$$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{A_1A},$$

$$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC_1}+\overrightarrow{C_1C}.$$

Так как в параллелепипеде противоположные рёбра равны и параллельны, то

$$\overrightarrow{A_1A}=\overrightarrow{C_1C}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OC_1}.$$

Перенесём слагаемые:

$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA_1}.$$

Что и требовалось доказать.