Упр.573 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$. Представьте вектор $$\overrightarrow{AB}$$ в виде алгебраической суммы следующих векторов:
   а) $$\overrightarrow{AC}$$, $$\overrightarrow{DC}$$, $$\overrightarrow{BD}$$;
   б) $$\overrightarrow{DA}$$, $$\overrightarrow{DC}$$, $$\overrightarrow{CB}$$;
   в) $$\overrightarrow{DA}$$, $$\overrightarrow{CD}$$, $$\overrightarrow{BC}$$.

Используем правило сложения векторов по ломаной и свойства противоположных векторов.

а) $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}.$$

Так как $$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB},$$ то

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}.$$

Заменяя противоположные векторы, получаем

$$\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}, \qquad \overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BD}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BD}.$$

б) $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}.$$

Причём $$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB},$$ значит

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}.$$

Так как $$\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{DA},$$ то

$$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}.$$

в) Аналогично,

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}.$$

Переходя к противоположным векторам, получаем

$$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC}.$$

Ответ: а) $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BD}$$; б) $$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$$; в) $$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC}$$.