Упр.571 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дан прямоугольный параллелепипед $$KLMNK_1L_1M_1N_1$$. Докажите, что:

а) $$\left|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MM_1}\right|=\left|\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{MM_1}\right|$$;

б) $$\left|\overrightarrow{K_1L_1}-\overrightarrow{NL_1}\right|=\left|\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MM_1}\right|$$;

в) $$\left|\overrightarrow{NL}-\overrightarrow{M_1L}\right|=\left|\overrightarrow{K_1N}-\overrightarrow{LN}\right|$$.

Обозначим через $$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$$ рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины. Тогда противоположные рёбра равны и параллельны, а диагонали противоположных граней равны.

а)

$$\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MM_1}=\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KK_1}=\overrightarrow{MK_1}$$
так как $$KK_1\parallel MM_1$$ и $$KK_1=MM_1$$.

По правилу треугольника
$$\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{MM_1}=\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{M_1M}=\overrightarrow{M_1K}.$$

Следовательно,
$$\left|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MM_1}\right|=\left|\overrightarrow{MK_1}\right|,\qquad \left|\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{MM_1}\right|=\left|\overrightarrow{M_1K}\right|.$$

Но $$MK_1$$ и $$M_1K$$ — диагонали прямоугольного параллелепипеда, значит, они равны. Поэтому
$$\left|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MM_1}\right|=\left|\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{MM_1}\right|.$$

б)

$$\overrightarrow{K_1L_1}-\overrightarrow{NL_1}=\overrightarrow{K_1L_1}+\overrightarrow{L_1N}=\overrightarrow{K_1N}.$$

Также
$$\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MM_1}=\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{LL_1}=\overrightarrow{ML_1},$$
так как $$MM_1\parallel LL_1$$ и $$MM_1=LL_1$$.

Значит,
$$\left|\overrightarrow{K_1L_1}-\overrightarrow{NL_1}\right|=\left|\overrightarrow{K_1N}\right|,\qquad \left|\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MM_1}\right|=\left|\overrightarrow{ML_1}\right|.$$

Отрезки $$K_1N$$ и $$ML_1$$ — диагонали противоположных граней прямоугольного параллелепипеда, поэтому
$$\left|\overrightarrow{K_1N}\right|=\left|\overrightarrow{ML_1}\right|.$$
Следовательно,
$$\left|\overrightarrow{K_1L_1}-\overrightarrow{NL_1}\right|=\left|\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MM_1}\right|.$$

в)

$$\overrightarrow{NL}-\overrightarrow{M_1L}=\overrightarrow{NL}+\overrightarrow{LM_1}=\overrightarrow{NM_1}.$$

Кроме того,
$$\overrightarrow{K_1N}-\overrightarrow{LN}=\overrightarrow{K_1N}+\overrightarrow{NL}=\overrightarrow{K_1L}.$$

Следовательно,
$$\left|\overrightarrow{NL}-\overrightarrow{M_1L}\right|=\left|\overrightarrow{NM_1}\right|,\qquad \left|\overrightarrow{K_1N}-\overrightarrow{LN}\right|=\left|\overrightarrow{K_1L}\right|.$$

Диагонали $$NM_1$$ и $$K_1L$$ — диагонали противоположных граней прямоугольного параллелепипеда, значит,
$$\left|\overrightarrow{NM_1}\right|=\left|\overrightarrow{K_1L}\right|.$$
Итак,
$$\left|\overrightarrow{NL}-\overrightarrow{M_1L}\right|=\left|\overrightarrow{K_1N}-\overrightarrow{LN}\right|.$$