Упр.570 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В пространстве даны четыре точки А, В, C и D. Назовите вектор с началом и концом в данных точках, равный сумме векторов:

а) $$\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DC}\right)+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)$$;

б) $$\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)+\overrightarrow{DC}$$.

Воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения векторов, а также тем, что $$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$$ и $$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}.$$

а)
$$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DC})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})$$
$$=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}$$
$$=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC}$$
$$=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$$
$$=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}.$$

б)
$$(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{DC} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DC}$$
$$=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}$$
$$=\overrightarrow{DB}.$$

Ответ: а) $$\vec{0}$$; б) $$\overrightarrow{DB}$$.