Упр.57 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая $$a$$ параллельна одной из двух параллельных плоскостей. Докажите, что прямая $$a$$ либо параллельна другой плоскости, либо лежит в ней.

Докажем утверждение от противного.

Пусть $$a \not\parallel \beta$$ и $$a \not\subset \beta$$. Тогда прямая $$a$$ и плоскость $$\beta$$ имеют общую точку $$A$$, то есть $$A \in a$$ и $$A \in \beta$$.

Так как $$\alpha \parallel \beta$$, то если бы $$a$$ пересекала плоскость $$\alpha$$ в точке $$B$$, то прямая $$AB$$ лежала бы в плоскости, проходящей через прямую $$a$$ и точку $$A$$, а из параллельности плоскостей следовало бы, что эта плоскость пересекает и $$\beta$$. Получаем противоречие с тем, что $$a$$ не параллельна $$\beta$$ и не лежит в ней.

Следовательно, наше предположение неверно. Значит, прямая $$a$$ либо параллельна плоскости $$\beta$$, либо лежит в ней.

Ответ: $$a \parallel \beta$$ или $$a \subset \beta$$.