Упр.568 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Пусть $ABCD$ — параллелограмм, а $O$ — произвольная точка пространства. Докажите, что: а) $$OB-OA=OC-OD$$; б) $$OB-OC=DA$$.

Подробный ответ

Рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$ и произвольную точку $$O$$.

Ход решения

а) По правилу треугольника имеем:

$$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA},$$

$$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}-\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}\right)=-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB},$$

$$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}\right)=-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DC}.$$

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны равны и параллельны, значит

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}.$$

б) Аналогично, по правилу треугольника:

$$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}-\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}\right)=-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}.$$

В параллелограмме $$ABCD$$ имеем

$$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}.$$

Значит,

$$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{DA}.$$

Ответ

$$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD},\qquad \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{DA}.$$