Упр.567 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Нарисуйте параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и обозначьте векторы $$\overrightarrow{C_1D_1}$$, $$\overrightarrow{BA_1}$$, $$\overrightarrow{AD}$$ соответственно через $$a$$, $$b$$, $$c$$. Изобразите на рисунке векторы: а) $$a-b$$; б) $$a-c$$; в) $$b-a$$; г) $$c-b$$; д) $$c-a$$.

Обозначим в параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ векторы $$\overrightarrow{C_1D_1}=\vec a,$$ $$\overrightarrow{BA_1}=\vec b,$$ $$\overrightarrow{AD}=\vec c.$$ Тогда, используя правило треугольника и равенство параллельных и равных векторов в параллелепипеде, получаем:

1. $$\vec a-\vec b=\overrightarrow{C_1D_1}-\overrightarrow{BA_1}=\overrightarrow{C_1D_1}+\overrightarrow{A_1B}.$$

   Так как $$\overrightarrow{D_1C}=\overrightarrow{A_1B},$$ то

   $$\vec a-\vec b=\overrightarrow{C_1D_1}+\overrightarrow{D_1C}=\overrightarrow{C_1C}.$$

2. $$\vec a-\vec c=\overrightarrow{C_1D_1}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{C_1D_1}+\overrightarrow{DA}.$$

   Так как $$\overrightarrow{D_1A_1}=\overrightarrow{DA},$$ то

   $$\vec a-\vec c=\overrightarrow{C_1D_1}+\overrightarrow{D_1A_1}=\overrightarrow{C_1A_1}.$$

3. $$\vec b-\vec a=\overrightarrow{BA_1}-\overrightarrow{C_1D_1}=\overrightarrow{BA_1}+\overrightarrow{D_1C_1}.$$

   Следовательно,

   $$\vec b-\vec a=\overrightarrow{BB_1}.$$

4. $$\vec c-\vec b=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BA_1}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A_1B}.$$

   В параллелограмме $$A A_1 D_1 D$$ имеем $$\overrightarrow{A_1D_1}=\overrightarrow{AD},$$ а значит

   $$\vec c-\vec b=\overrightarrow{A_1D_1}+\overrightarrow{A_1B}=\overrightarrow{A_1C}.$$

5. $$\vec c-\vec a=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{C_1D_1}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D_1C_1}.$$

   Так как $$\overrightarrow{D_1C_1}=\overrightarrow{DC},$$ то

   $$\vec c-\vec a=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}.$$

Ответ: а) $$\overrightarrow{C_1C}$$; б) $$\overrightarrow{C_1A_1}$$; в) $$\overrightarrow{BB_1}$$; г) $$\overrightarrow{A_1C}$$; д) $$\overrightarrow{AC}$$.