Упр.565 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан тетраэдр ABCD. Докажите, что: а) AB + BD = AC + CD; б) AB + BC = DC + AD; в) DC + BD = AC+ BA.

Используем правило сложения векторов по треугольнику и переместительный закон сложения векторов.

а) Вектор $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$$ равен вектору $$\overrightarrow{AD}$$, так как при последовательном перемещении из точки $$A$$ в точку $$B$$, а затем из $$B$$ в $$D$$ получаем перемещение из $$A$$ в $$D$$:

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}.$$

Аналогично

$$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}.$$

б) По правилу треугольника

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.$$

С другой стороны, по переместительному закону

$$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}.$$

Значит,

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}.$$

в) Аналогично пункту б):

$$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BC}.$$

И

$$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}.$$

Ответ

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD},\quad \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD},\quad \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}.$$