Упр.560 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- На рисунке 105 изображён тетраэдр $$ABCD$$, рёбра которого равны. Точки $$M$$, $$N$$, $$P$$ и $$Q$$ — середины сторон $$AB$$, $$AD$$, $$DC$$, $$BC$$.
а) Выпишите все пары равных векторов, изображённых на этом рисунке.
б) Определите вид четырёхугольника $$MNPQ$$.
а) Так как $$M$$ и $$N$$ — середины ребер $$AB$$ и $$AD$$, то $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABD$$, значит $$MN \parallel BD$$. Аналогично, $$Q$$ и $$P$$ — середины ребер $$BC$$ и $$DC$$, поэтому $$QP$$ — средняя линия треугольника $$DBC$$ и $$QP \parallel BD$$. Следовательно,
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}.$$
Далее, $$N$$ и $$P$$ — середины ребер $$AD$$ и $$DC$$, значит $$NP$$ — средняя линия треугольника $$ADC$$, поэтому $$NP \parallel AC$$. Аналогично, $$M$$ и $$Q$$ — середины ребер $$AB$$ и $$BC$$, значит $$MQ$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$ и $$MQ \parallel AC$$. Следовательно,
$$\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{QM}.$$
Кроме того, $$D$$ и $$P$$ — середины ребра $$DC$$, поэтому
$$\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{PC}.$$
б) Так как $$ABCD$$ — правильный тетраэдр, то его противоположные ребра равны и перпендикулярны: $$AC=BD$$ и $$AC \perp BD$$. Тогда в четырехугольнике $$MNPQ$$
$$MN=QP=\frac12 BD,\qquad NP=MQ=\frac12 AC.$$
Поскольку $$AC=BD$$, получаем
$$MN=NP=PQ=QM.$$
Кроме того, $$MN \parallel BD$$ и $$NP \parallel AC$$, а значит $$MN \perp NP$$. Следовательно, четырехугольник $$MNPQ$$ — квадрат.
Ответ: а) $$\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{PC},\ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP},\ \overrightarrow{PN}=\overrightarrow{QM}$$; б) $$MNPQ$$ — квадрат.
