Упр.56 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Плоскости а и P параллельны, A — точка плоскости а. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку A и параллельная плоскости p, лежит в плоскости а.

Подробный ответ

Докажем утверждение от противного.

Пусть прямая $$a$$, проходящая через точку $$A$$, не лежит в плоскости $$\alpha$$. Тогда она пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$A$$, то есть $$a \cap \alpha = A$$.

Но по условию $$a \parallel \beta$$, а также $$\alpha \parallel \beta$$. Если бы прямая $$a$$ пересекала плоскость $$\beta$$, то из параллельности плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$ следовало бы, что точка пересечения прямой $$a$$ с плоскостью $$\beta$$ принадлежит и плоскости $$\alpha$$. Это невозможно, так как тогда прямая $$a$$ имела бы с плоскостью $$\alpha$$ более одной общей точки.

Получили противоречие. Значит, предположение неверно, и прямая $$a$$ не может не лежать в плоскости $$\alpha$$.

Следовательно, любая прямая, проходящая через точку $$A$$ и параллельная плоскости $$\beta$$, лежит в плоскости $$\alpha$$.