Упр.557 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B тетраэдре ABCD точки M, N и K — середины ребер AC, BC и CD соответственно, AB = 3 см, BC = 4 см, BD = 5 см. Найдите длины векторов: а) AB, ВС, BD, NM, BN, NK; б) CB, BA, DB, NC, KN.

Так как длина вектора равна длине соответствующего отрезка, то сначала найдём длины данных векторов.

а) Векторы $$\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{BD}$$ имеют длины, равные длинам рёбер тетраэдра:

$$|\overrightarrow{AB}|=AB=3\text{ см},\quad |\overrightarrow{BC}|=BC=4\text{ см},\quad |\overrightarrow{BD}|=BD=5\text{ см}.$$

Точки $$M$$ и $$N$$ — середины рёбер $$AC$$ и $$BC$$, значит в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$MN$$ — средняя линия. Тогда

$$|\overrightarrow{NM}|=NM=\frac12 AB=\frac12\cdot 3=1{,}5\text{ см}.$$

Так как $$N$$ — середина $$BC$$, то

$$|\overrightarrow{BN}|=BN=\frac12 BC=\frac12\cdot 4=2\text{ см}.$$

Точки $$N$$ и $$K$$ — середины рёбер $$BC$$ и $$CD$$, значит в треугольнике $$BCD$$ отрезок $$NK$$ — средняя линия. Следовательно,

$$|\overrightarrow{NK}|=NK=\frac12 BD=\frac12\cdot 5=2{,}5\text{ см}.$$

б) Для векторов $$\overrightarrow{CB},\ \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{DB}$$ длины равны длинам соответствующих рёбер:

$$|\overrightarrow{CB}|=CB=4\text{ см},\quad |\overrightarrow{BA}|=BA=3\text{ см},\quad |\overrightarrow{DB}|=DB=5\text{ см}.$$

Так как $$N$$ — середина $$BC$$, то

$$|\overrightarrow{NC}|=NC=\frac12 BC=\frac12\cdot 4=2\text{ см}.$$

А поскольку $$K$$ — середина $$CD$$ и $$N$$ — середина $$BC$$, то $$KN$$ — средняя линия треугольника $$BCD$$, поэтому

$$|\overrightarrow{KN}|=KN=\frac12 BD=\frac12\cdot 5=2{,}5\text{ см}.$$

Ответ

а) $$3\text{ см},\ 4\text{ см},\ 5\text{ см},\ 1{,}5\text{ см},\ 2\text{ см},\ 2{,}5\text{ см}$$; б) $$4\text{ см},\ 3\text{ см},\ 5\text{ см},\ 2\text{ см},\ 2{,}5\text{ см}$$.