Упр.557 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В тетраэдре $$ABCD$$ точки $$M$$, $$N$$ и $$K$$ — середины рёбер $$AC$$, $$BC$$ и $$CD$$ соответственно, $$AB=3\text{ см}$$, $$BC=4\text{ см}$$, $$BD=5\text{ см}$$. Найдите длины векторов:
а) $$AB$$, $$BC$$, $$BD$$, $$NM$$, $$BN$$, $$NK$$;
б) $$CB$$, $$BA$$, $$DB$$, $$NC$$, $$KN$$.

Подробный ответ

Так как $$M$$ и $$N$$ — середины отрезков $$AC$$ и $$BC$$, то в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$MN$$ является средней линией. Поэтому

$$|MN|=\frac12|AB|=\frac12\cdot 3=1{,}5\text{ см}.$$

Так как $$B$$ и $$N$$ лежат на отрезке $$BC$$, то

$$|BN|=\frac12|BC|=\frac12\cdot 4=2\text{ см}.$$

Так как $$N$$ и $$K$$ — середины отрезков $$BC$$ и $$CD$$, то в треугольнике $$BCD$$ отрезок $$NK$$ — средняя линия. Следовательно,

$$|NK|=\frac12|BD|=\frac12\cdot 5=2{,}5\text{ см}.$$

Теперь найдём длины векторов. Длина вектора равна длине соответствующего отрезка, поэтому

$$|\overrightarrow{AB}|=3\text{ см},\quad |\overrightarrow{BC}|=4\text{ см},\quad |\overrightarrow{BD}|=5\text{ см},$$

$$|\overrightarrow{NM}|=1{,}5\text{ см},\quad |\overrightarrow{BN}|=2\text{ см},\quad |\overrightarrow{NK}|=2{,}5\text{ см}.$$

Аналогично для обратных векторов:

$$|\overrightarrow{CB}|=4\text{ см},\quad |\overrightarrow{BA}|=3\text{ см},\quad |\overrightarrow{DB}|=5\text{ см},$$

$$|\overrightarrow{NC}|=2\text{ см},\quad |\overrightarrow{KN}|=2{,}5\text{ см}.$$

Ответ: а) $$3\text{ см},\ 4\text{ см},\ 5\text{ см},\ 1{,}5\text{ см},\ 2\text{ см},\ 2{,}5\text{ см};$$ б) $$4\text{ см},\ 3\text{ см},\ 5\text{ см},\ 2\text{ см},\ 2{,}5\text{ см}.$$