Упр.556 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Будет ли плавать в воде полый медный шар, диаметр которого равен $$10\ \text{см}$$, а толщина стенки: а) $$2\ \text{мм}$$; б) $$1{,}5\ \text{мм}$$? (Плотность меди $$8{,}9\ \text{г/см}^3$$.)

Радиус шара $$R=5\text{ см}$$, плотность меди $$\rho=8{,}9\text{ г/см}^3$$. Чтобы шар плавал в воде, его средняя плотность должна быть меньше плотности воды, то есть $$\rho_{\text{ср}}<1\text{ г/см}^3$$.

Объём внешнего шара:

$$V_{\text{внеш}}=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 5^3=\frac{500}{3}\pi\approx 523{,}3\text{ см}^3.$$

Если толщина стенки равна $$d$$, то внутренний радиус равен $$r=R-d$$, а объём меди:

$$V_{\text{меди}}=\frac{4}{3}\pi\left(R^3-r^3\right)=\frac{4}{3}\pi\left(R^3-(R-d)^3\right).$$

а) $$d=2\text{ мм}=0{,}2\text{ см}$$, тогда $$r=5-0{,}2=4{,}8\text{ см}$$.

$$V_{\text{меди}}=\frac{4}{3}\pi\left(5^3-4{,}8^3\right)\approx 60{,}7\text{ см}^3.$$

Масса шара:

$$m=\rho V_{\text{меди}}=8{,}9\cdot 60{,}7\approx 540{,}2\text{ г}.$$

Средняя плотность шара:

$$\rho_{\text{ср}}=\frac{m}{V_{\text{внеш}}}\approx \frac{540{,}2}{523{,}3}\approx 1{,}03\text{ г/см}^3.$$

Так как $$1{,}03>1$$, шар не будет плавать.

б) $$d=1{,}5\text{ мм}=0{,}15\text{ см}$$, тогда $$r=5-0{,}15=4{,}85\text{ см}$$.

$$V_{\text{меди}}=\frac{4}{3}\pi\left(5^3-4{,}85^3\right)\approx 45{,}7\text{ см}^3.$$

Масса шара:

$$m=8{,}9\cdot 45{,}7\approx 406{,}9\text{ г}.$$

Средняя плотность шара:

$$\rho_{\text{ср}}=\frac{406{,}9}{523{,}3}\approx 0{,}77\text{ г/см}^3.$$

Так как $$0{,}77<1$$, шар будет плавать.

Ответ: а) нет; б) да.