Упр.555 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Куб, шар, цилиндр и конус (у двух последних тел диаметры оснований равны высоте) имеют равные площади поверхностей. Какое из этих тел имеет наибольший объем и какое — наименьший?

Подробный ответ

Пусть $$a$$ — сторона куба, $$R$$ — радиус шара, $$r_1$$ и $$h_1$$ — радиус и высота цилиндра, $$r_2$$ и $$h_2$$ — радиус и высота конуса. По условию у цилиндра и конуса $$h_1=2r_1$$, $$h_2=2r_2$$, а площади поверхностей всех четырёх тел равны.

Найдём объёмы через общую площадь поверхности $$S$$.

Для куба:

$$S=6a^2,\qquad V_{\text{куба}}=a^3,$$
$$\frac{V_{\text{куба}}}{S}=\frac{a^3}{6a^2}=\frac{a}{6}.$$

Для шара:

$$S=4\pi R^2,\qquad V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3,$$
$$\frac{V_{\text{шара}}}{S}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{4\pi R^2}=\frac{R}{3}.$$

Для цилиндра:

$$S=2\pi r_1(h_1+r_1)=2\pi r_1(2r_1+r_1)=6\pi r_1^2,$$
$$V_{\text{цил}}=\pi r_1^2h_1=2\pi r_1^3,$$
$$\frac{V_{\text{цил}}}{S}=\frac{2\pi r_1^3}{6\pi r_1^2}=\frac{r_1}{3}.$$

Для конуса:

$$S=\pi r_2\bigl(r_2+l\bigr),\qquad l=\sqrt{r_2^2+h_2^2}=\sqrt{r_2^2+4r_2^2}=r_2\sqrt5,$$
$$S=\pi r_2^2(1+\sqrt5),$$
$$V_{\text{кон}}=\frac13\pi r_2^2h_2=\frac23\pi r_2^3,$$
$$\frac{V_{\text{кон}}}{S}=\frac{\frac23\pi r_2^3}{\pi r_2^2(1+\sqrt5)}=\frac{2r_2}{3(1+\sqrt5)}.$$

Так как площади поверхностей равны, сравним сначала размеры тел. Из равенства площадей:

$$6a^2=4\pi R^2 \Rightarrow a=R\sqrt{\frac{2\pi}{3}},$$
$$6\pi r_1^2=4\pi R^2 \Rightarrow r_1=R\sqrt{\frac23},$$
$$\pi r_2^2(1+\sqrt5)=4\pi R^2 \Rightarrow r_2=2R\sqrt{\frac{1}{1+\sqrt5}}.$$

Тогда

$$\frac{V_{\text{шара}}}{S}=\frac{R}{3},\qquad \frac{V_{\text{цил}}}{S}=\frac{R}{3}\sqrt{\frac23},\qquad \frac{V_{\text{куба}}}{S}=\frac{R}{6}\sqrt{\frac{2\pi}{3}},\qquad \frac{V_{\text{кон}}}{S}=\frac{4R}{3(1+\sqrt5)}\sqrt{\frac{1}{1+\sqrt5}}.$$

Сравнение этих величин даёт порядок:

$$\frac{V_{\text{шара}}}{S}>\frac{V_{\text{цил}}}{S}>\frac{V_{\text{куба}}}{S}>\frac{V_{\text{кон}}}{S}.$$

Значит, при равных площадях поверхностей наибольший объём имеет шар, а наименьший — конус.

Ответ: $$V_{\text{шара}}>V_{\text{цил}}>V_{\text{куба}}>V_{\text{конуса}}.$$