Упр.555 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Куб, шар, цилиндр и конус (у двух последних тел диаметры оснований равны высоте) имеют равные площади поверхностей. Какое из этих тел имеет наибольший объем и какое — наименьший?

Подробный ответ

Обозначим через $$S$$ общую площадь поверхности каждого тела. Пусть $$a$$ — ребро куба, $$R$$ — радиус шара, $$r_1$$ — радиус основания цилиндра, $$r_2$$ — радиус основания конуса. По условию у цилиндра и конуса высота равна диаметру основания, то есть $$h_1=2r_1$$, $$h_2=2r_2$$.

Так как площади поверхностей равны, имеем:

$$S_{\text{куба}}=6a^2,\qquad S_{\text{шара}}=4\pi R^2,$$
$$S_{\text{цилиндра}}=2\pi r_1(h_1+r_1)=2\pi r_1(2r_1+r_1)=6\pi r_1^2,$$
$$S_{\text{конуса}}=\pi r_2\left(r_2+\sqrt{r_2^2+h_2^2}\right)=\pi r_2\left(r_2+\sqrt{r_2^2+4r_2^2}\right)=\pi r_2^2(1+\sqrt5).$$

Из равенства площадей куба и шара:

$$6a^2=4\pi R^2 \;\Rightarrow\; a=R\sqrt{\frac{2\pi}{3}}.$$

Из равенства площадей цилиндра и шара:

$$6\pi r_1^2=4\pi R^2 \;\Rightarrow\; r_1=R\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Из равенства площадей конуса и шара:

$$\pi r_2^2(1+\sqrt5)=4\pi R^2 \;\Rightarrow\; r_2=R\sqrt{\frac{4}{1+\sqrt5}}.$$

Теперь найдём объёмы:

$$V_{\text{куба}}=a^3=R^3\left(\frac{2\pi}{3}\right)^{\frac32},$$
$$V_{\text{шара}}=\frac43\pi R^3,$$
$$V_{\text{цилиндра}}=\pi r_1^2h_1=2\pi r_1^3=2\pi R^3\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac32},$$
$$V_{\text{конуса}}=\frac13\pi r_2^2h_2=\frac23\pi r_2^3=\frac23\pi R^3\left(\frac{4}{1+\sqrt5}\right)^{\frac32}.$$

Сравним коэффициенты при $$R^3$$. Получаем:

$$V_{\text{шара}} > V_{\text{цилиндра}} > V_{\text{куба}} > V_{\text{конуса}}.$$