Упр.554 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Цистерна имеет форму цилиндра, к основаниям которого присоединены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен $$1{,}5\ \text{м}$$, а высота сегмента равна $$0{,}5\ \text{м}$$. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась $$50\ \text{м}^3$$?

Объём цистерны равен сумме объёма цилиндра и объёма двух равных шаровых сегментов.

Для шарового сегмента радиуса основания $$r=1{,}5$$ м и высоты $$h=0{,}5$$ м используем формулу

$$V_{\text{сег}}=\pi h^2\left(r-\frac{h}{3}\right).$$

Тогда объём двух сегментов:

$$V_{2\text{сег}}=2\pi\cdot 0{,}5^2\left(1{,}5-\frac{0{,}5}{3}\right) =2\pi\cdot 0{,}25\cdot \frac{4}{3} =\frac{2\pi}{3}.$$

Объём цилиндра с образующей $$l$$:

$$V_{\text{цил}}=\pi r^2l=\pi\cdot 1{,}5^2\cdot l=2{,}25\pi l.$$

По условию общий объём равен $$50$$ м³, значит

$$2{,}25\pi l+\frac{2\pi}{3}=50.$$

Отсюда

$$l=\frac{50-\frac{2\pi}{3}}{2{,}25\pi}.$$

Подставим $$\pi\approx 3{,}14$$:

$$l\approx \frac{50-2{,}09}{7{,}065}\approx 6{,}8.$$

Ответ: $$6{,}8$$ м.