Упр.553 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник с диагональю $$10\text{ см}$$. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол $$р$$. Найдите площадь поверхности и объём шара.
Проведём высоту пирамиды $$MH$$. Тогда $$MH \perp ABCD$$, а значит, треугольники $$MAB$$, $$MBC$$, $$MCD$$ и $$MDA$$ прямоугольные с общим катетом $$MH$$.
По условию каждое боковое ребро составляет с основанием угол $$\beta$$, значит
$$\angle MAH=\angle MBH=\angle MCH=\angle MDH=\beta.$$
Следовательно, в прямоугольных треугольниках $$MAB$$, $$MBC$$, $$MCD$$ и $$MDA$$
$$AH=BH=CH=DH=r,$$
то есть точки $$A,B,C,D$$ лежат на окружности с центром в точке $$H$$, а $$r$$ — её радиус.
Рассмотрим треугольник $$MAC$$. Его сторона $$AC=10$$ см — диагональ прямоугольника. Угол при вершине $$M$$ равен
$$\angle AMC=180^\circ-2\beta.$$
По теореме синусов в треугольнике $$MAC$$:
$$\frac{AC}{\sin \angle AMC}=2R,$$
где $$R$$ — радиус описанной около треугольника $$MAC$$ окружности. Но эта окружность и есть сечение шара, поэтому $$R$$ — радиус шара.
Тогда
$$\frac{10}{\sin(180^\circ-2\beta)}=2R.$$
Так как $$\sin(180^\circ-2\beta)=\sin 2\beta$$, получаем
$$R=\frac{10}{2\sin 2\beta}=\frac{5}{\sin 2\beta}.$$
Теперь найдём площадь поверхности шара:
$$S=4\pi R^2=4\pi\cdot \frac{25}{\sin^2 2\beta}=\frac{100\pi}{\sin^2 2\beta}\ \text{см}^2.$$
Объём шара равен
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\cdot \frac{125}{\sin^3 2\beta} =\frac{500\pi}{3\sin^3 2\beta}\ \text{см}^3.$$
Ответ: $$S=\frac{100\pi}{\sin^2 2\beta}\ \text{см}^2,\quad V=\frac{500\pi}{3\sin^3 2\beta}\ \text{см}^3.$$
