Упр.552 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 2 см. Найдите площадь поверхности и объём шара, если каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол $$\alpha$$.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр шара, а $$M$$ — вершина пирамиды. Тогда $$MO$$ — высота пирамиды. Обозначим через $$A,B,C$$ вершины основания.

Так как основание пирамиды — прямоугольный треугольник, вписанный в шар, то его гипотенуза $$AB$$ является диаметром окружности, а значит, $$O$$ — середина $$AB$$ и $$OA=OB=R$$, где $$R$$ — радиус шара.

Рассмотрим треугольники $$MOA$$, $$MOB$$ и $$MOC$$. У них:

$$MO$$ — общий катет;
$$\angle MAO=\angle MBO=\angle MCO=\alpha$$, так как каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол $$\alpha$$.

Следовательно, эти треугольники равны, откуда $$OA=OB=OC=R$$.

В треугольнике $$AMB$$ имеем $$MO\perp ABC$$, значит, $$MO\perp AB$$. Поэтому $$\angle AMB$$ — угол между боковым ребром и основанием, и в треугольнике $$AMB$$

$$\angle MAB=\alpha,$$

а так как $$AB$$ — диаметр шара, то $$\angle AMB=90^\circ$$ и $$\angle MBA=90^\circ-\alpha$$. Тогда по теореме синусов в треугольнике $$AMB$$:

$$\frac{AB}{\sin \angle AMB}=2R$$

Но $$\angle AMB=180^\circ-2\alpha$$, поэтому

$$\frac{AB}{\sin(180^\circ-2\alpha)}=2R.$$

Так как $$AB=2$$ и $$\sin(180^\circ-2\alpha)=\sin 2\alpha$$, получаем

$$\frac{2}{\sin 2\alpha}=2R,$$

откуда

$$R=\frac{1}{\sin 2\alpha}.$$

Теперь найдём площадь поверхности шара:

$$S=4\pi R^2=4\pi\cdot \frac{1}{\sin^2 2\alpha}.$$

И объём шара: