Упр.551 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
В шар вписан конус, радиус основания которого равен $$r$$, а высота равна $$H$$. Найдите площадь поверхности и объём шара.
Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно является равнобедренным треугольником с основанием $$2r$$ и высотой $$H$$. Шар, вписанный в конус, в этом сечении даёт вписанную окружность, радиус которой равен радиусу шара $$R$$.
Найдём боковую сторону осевого сечения:
$$l=\sqrt{H^2+r^2}.$$
Площадь осевого сечения:
$$S=\frac12\cdot 2r\cdot H=rH.$$
Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника равен
$$R=\frac{S}{p},$$
где $$p$$ — полупериметр треугольника. Тогда
$$p=\frac{2l+2r}{2}=l+r,$$
и потому
$$R=\frac{rH}{\sqrt{H^2+r^2}+r}.$$
Удобнее воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности через стороны треугольника:
$$R=\frac{abc}{4S}.$$
Для нашего треугольника $$a=b=l=\sqrt{H^2+r^2},\ c=2r,\ S=rH$$, значит
$$R=\frac{l\cdot l\cdot 2r}{4rH}=\frac{H^2+r^2}{2H}.$$
Теперь найдём площадь поверхности шара:
$$S_{\text{шара}}=4\pi R^2=4\pi\left(\frac{H^2+r^2}{2H}\right)^2=\frac{\pi}{H^2}(H^2+r^2)^2.$$
Объём шара:
$$V_{\text{шара}}=\frac43\pi R^3=\frac43\pi\left(\frac{H^2+r^2}{2H}\right)^3=\frac{\pi}{6H^3}(H^2+r^2)^3.$$
Ответ: $$S_{\text{шара}}=\frac{\pi}{H^2}(H^2+r^2)^2,\quad V_{\text{шара}}=\frac{\pi}{6H^3}(H^2+r^2)^3.$$
