Упр.551 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B шар вписан конус, радиус основания которого равен r, а высота равна H. Найдите площадь поверхности и объем шара.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Получаем равнобедренный треугольник с основанием $$2r$$ и высотой $$H$$. Шар, вписанный в конус, в этом сечении даёт окружность, вписанную в треугольник, поэтому радиус шара равен радиусу вписанной окружности этого треугольника.

Найдём боковую сторону треугольника:

$$l=\sqrt{H^2+r^2}.$$

Площадь осевого сечения:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 2r \cdot H=rH.$$

Полупериметр треугольника:

$$p=\frac{2l+2r}{2}=l+r.$$

Тогда радиус вписанной окружности:

$$R=\frac{S}{p}=\frac{rH}{\sqrt{H^2+r^2}+r}.$$

Удобнее воспользоваться известной формулой для вписанной окружности равнобедренного треугольника:

$$R=\frac{H^2+r^2}{2H}.$$

Теперь найдём площадь поверхности шара:

$$S_{\text{шара}}=4\pi R^2=4\pi\left(\frac{H^2+r^2}{2H}\right)^2=\frac{\pi}{H^2}(H^2+r^2)^2.$$

И объём шара:

$$V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{H^2+r^2}{2H}\right)^3=\frac{\pi}{6H^3}(H^2+r^2)^3.$$

Ответ

$$S_{\text{шара}}=\frac{\pi}{H^2}(H^2+r^2)^2,\qquad V_{\text{шара}}=\frac{\pi}{6H^3}(H^2+r^2)^3.$$