Упр.550 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B шар вписан цилиндр, в котором угол между диагоналями осевого сечения равен а. Образующая цилиндра равна L Найдите объем шара.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Это прямоугольник $$ABCD$$, вписанный в окружность шара. Диагонали прямоугольника пересекаются в точке $$O$$ — центре шара.

Пусть $$AB=l$$ — образующая цилиндра, а $$\angle BOA=\alpha$$. Тогда в треугольнике $$AOB$$ имеем $$OA=OB=R$$, где $$R$$ — радиус шара.

По теореме синусов в треугольнике $$AOB$$:

$$ \frac{AB}{\sin \angle AOB}=\frac{OA}{\sin \angle OBA} $$

Так как $$\angle AOB=\alpha$$, а $$\angle OBA=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}$$, то

$$ \frac{l}{\sin \alpha}=\frac{R}{\cos \frac{\alpha}{2}} $$

Отсюда

$$ R=\frac{l\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \alpha} =\frac{l\cos \frac{\alpha}{2}}{2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}} =\frac{l}{2\sin \frac{\alpha}{2}} $$

Теперь найдём объём шара:

$$ V=\frac{4}{3}\pi R^3 =\frac{4}{3}\pi \left(\frac{l}{2\sin \frac{\alpha}{2}}\right)^3 =\frac{\pi l^3}{6\sin^3 \frac{\alpha}{2}} $$