Упр.550 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В шар вписан цилиндр, в котором угол между диагоналями осевого сечения равен $$\alpha$$. Образующая цилиндра равна $$L$$. Найдите объём шара.

Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Это прямоугольник со сторонами $$l$$ и $$2R,$$ где $$l$$ — образующая цилиндра, а $$R$$ — радиус шара.

Диагонали прямоугольника пересекаются в центре шара, поэтому в треугольнике, образованном половинами диагоналей, имеем:

$$\angle BOA=a,$$

а диагональ прямоугольника равна диаметру шара, то есть $$2R.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна $$R,$$ а угол при центре равен $$\dfrac{a}{2}.$$ Тогда

$$\sin \frac{a}{2}=\frac{l/2}{R},$$

откуда

$$R=\frac{l}{2\sin \frac{a}{2}}.$$

Теперь найдём объём шара:

$$V=\frac{4}{3}\pi R^3 =\frac{4}{3}\pi \left(\frac{l}{2\sin \frac{a}{2}}\right)^3 =\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{l^3}{8\sin^3 \frac{a}{2}} =\frac{\pi l^3}{6\sin^3 \frac{a}{2}}.$$

Ответ: $$V=\frac{\pi l^3}{6\sin^3 \frac{a}{2}}.$$