Упр.549 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В сферу радиуса $$R$$ вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого составляет с основанием угол $$\alpha$$. Найдите объем цилиндра.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Это прямоугольник $$ABCD$$, вписанный в окружность сечения сферы радиуса $$R$$. Тогда диагональ прямоугольника равна диаметру окружности:

$$BD=2R.$$

По условию $$\angle CDB=\alpha$$. В прямоугольном треугольнике $$CDB$$ имеем:

$$BC=BD\cdot \cos\alpha=2R\cos\alpha,$$

$$CD=BD\cdot \sin\alpha=2R\sin\alpha.$$

Но $$BC$$ — это диаметр основания цилиндра, значит

$$r=\frac{BC}{2}=R\cos\alpha.$$

Высота цилиндра равна $$CD$$:

$$h=2R\sin\alpha.$$

Тогда объём цилиндра:

$$V=\pi r^2h=\pi (R\cos\alpha)^2\cdot 2R\sin\alpha =2\pi R^3\sin\alpha\cos^2\alpha.$$

Используя формулу $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$, получаем:

$$V=\pi R^3\sin 2\alpha\cos\alpha.$$