Упр.549 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B сферу радиуса R вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого составляет с основанием угол а. Найдите объем цилиндра.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Оно представляет собой прямоугольник $$ABCD$$, вписанный в окружность сферы радиуса $$R$$. Поэтому диагональ прямоугольника равна диаметру сферы:

$$BD=2R.$$

Пусть $$\angle CDB=\alpha$$ — угол между диагональю осевого сечения и основанием цилиндра.

В прямоугольном треугольнике $$CDB$$ имеем:

$$BC=BD\cos\alpha=2R\cos\alpha.$$

Но $$BC$$ — это диаметр основания цилиндра, значит

$$r=\frac{BC}{2}=R\cos\alpha.$$

Высота цилиндра равна стороне прямоугольника $$CD$$:

$$h=CD=BD\sin\alpha=2R\sin\alpha.$$

Теперь найдём объём цилиндра:

$$V=\pi r^2h=\pi (R\cos\alpha)^2\cdot 2R\sin\alpha.$$

Следовательно,

$$V=2\pi R^3\sin\alpha\cos^2\alpha.$$