Упр.548 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
В пирамиду, основанием которой является ромб со стороной $$a$$ и углом $$\alpha$$, вписан шар. Найдите объём шара, если каждая боковая грань пирамиды составляет с основанием угол $$\beta$$.
Пусть $$MH$$ — высота пирамиды, а $$H$$ — центр вписанной в основание окружности. Проведём в основании перпендикуляры $$HP\perp DC$$ и $$HT\perp AD$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах
$$MP\perp DC,\qquad MT\perp AD.$$
Так как каждая боковая грань составляет с основанием угол $$\beta$$, то
$$\angle MTH=\angle MPH=\beta.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$MHT$$ и $$MHP$$. Они равны, поскольку имеют общий катет $$MH$$ и равные острые углы при вершинах $$T$$ и $$P$$. Значит,
$$HT=HP=r,$$
где $$r$$ — радиус окружности, вписанной в ромб $$ABCD$$.
Найдём $$r$$. Площадь ромба:
$$S_{ABCD}=a^2\sin\alpha.$$
С другой стороны, для ромба
$$S_{ABCD}=4S_{\triangle HCD}=4\cdot \frac12\cdot a\cdot HP=2a\cdot HP.$$
Следовательно,
$$a^2\sin\alpha=2a\cdot HP,$$
откуда
$$HP=\frac{a\sin\alpha}{2}.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$HPO$$, где $$O$$ — центр шара. Поскольку $$PO$$ — биссектриса угла $$\beta$$, то
$$\angle HPO=\frac{\beta}{2}.$$
Тогда
$$\tan\frac{\beta}{2}=\frac{OH}{HP},$$
и значит
$$R=OH=HP\tan\frac{\beta}{2}=\frac{a\sin\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}.$$
Объём шара равен
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{a\sin\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}\right)^3.$$
После упрощения получаем
$$V=\frac{\pi}{6}a^3\sin^3\alpha\cdot \tan^3\frac{\beta}{2}.$$
Ответ
$$\frac{\pi}{6}a^3\sin^3\alpha\cdot \tan^3\frac{\beta}{2}$$
