Упр.547 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В правильную треугольную пирамиду с двугранным углом $$\alpha$$ при основании вписан шар объёма $$V$$. Найдите объём пирамиды.

Подробный ответ

Обозначим через $$r$$ радиус вписанного шара, а через $$H$$ — основание высоты пирамиды. Тогда центр шара $$O$$ лежит на высоте $$MH$$, и $$OH=r$$.

Пусть $$T$$ — точка касания шара с боковой гранью. Тогда в сечении плоскостью, проходящей через высоту пирамиды и перпендикулярной ребру основания, получаем прямоугольный треугольник, в котором линейный угол двугранного угла при основании равен $$\alpha$$. Поэтому

$$\angle MTA=\alpha,\qquad \angle ATO=\frac{\alpha}{2}.$$

В правильной треугольной пирамиде основание — равносторонний треугольник, значит радиус вписанной в основание окружности равен

$$HT=\frac{BC}{2\sqrt3}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$HTO$$. В нём

$$\frac{HT}{HO}=\ctg\frac{\alpha}{2},$$

откуда

$$HT=r\ctg\frac{\alpha}{2}.$$

Тогда

$$BC=2\sqrt3\,HT=2\sqrt3\,r\ctg\frac{\alpha}{2}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$MHT$$. Из него

$$MH=HT\cdot\tg\alpha=r\ctg\frac{\alpha}{2}\cdot\tg\alpha.$$

Площадь основания пирамиды:

$$S_{ABC}=\frac{\sqrt3}{4}BC^2=\frac{\sqrt3}{4}\left(2\sqrt3\,r\ctg\frac{\alpha}{2}\right)^2=3\sqrt3\,r^2\ctg^2\frac{\alpha}{2}.$$

Тогда объём пирамиды равен

$$V_{\text{пир}}=\frac13 S_{ABC}\cdot MH =\frac13\cdot 3\sqrt3\,r^2\ctg^2\frac{\alpha}{2}\cdot r\ctg\frac{\alpha}{2}\tg\alpha =\sqrt3\,r^3\,\tg\alpha\cdot \ctg^3\frac{\alpha}{2}.$$

Так как объём шара

$$V=\frac43\pi r^3,$$

то

$$r^3=\frac{3V}{4\pi}.$$

Подставляя это в формулу для объёма пирамиды, получаем

$$V_{\text{пир}}=\frac{3\sqrt3}{4\pi}\,\tg\alpha\cdot \ctg^3\frac{\alpha}{2}\cdot V.$$