Упр.546 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В усечённый конус, радиусы оснований которого равны $$r$$ и $$r_1$$, вписан шар. Найдите отношение объёмов усечённого конуса и шара.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно является равнобедренной трапецией, в которую вписана окружность — сечение шара.

Обозначим радиусы оснований усечённого конуса через $$r$$ и $$r_1$$, а радиус шара — через $$R$$.

Тогда высота усечённого конуса равна диаметру шара:

$$h=2R.$$

Объём усечённого конуса:

$$V_{\text{конуса}}=\frac{1}{3}\pi h\left(r^2+r_1^2+rr_1\right)=\frac{2}{3}\pi R\left(r^2+r_1^2+rr_1\right).$$

Найдём радиус шара. В осевом сечении трапеции сумма противоположных сторон равна сумме двух других сторон, поэтому для боковой стороны $$\ell$$ имеем:

$$2\ell=2r+2r_1,\qquad \ell=r+r_1.$$

Пусть $$BK$$ — высота трапеции, тогда

$$BK=h=2R,$$

а горизонтальная проекция боковой стороны равна

$$AK=r_1-r.$$

Из прямоугольного треугольника $$ABK$$:

$$\ell^2=BK^2+AK^2,$$

$$(r+r_1)^2=(2R)^2+(r_1-r)^2.$$

Отсюда

$$4R^2=(r+r_1)^2-(r_1-r)^2=4rr_1,$$

значит

$$R^2=rr_1.$$

Теперь найдём отношение объёмов:

$$\frac{V_{\text{конуса}}}{V_{\text{шара}}} = \frac{\frac{2}{3}\pi R\left(r^2+r_1^2+rr_1\right)}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{r^2+r_1^2+rr_1}{2R^2} = \frac{r^2+r_1^2+rr_1}{2rr_1}.$$

Ответ: $$\frac{r^2+r_1^2+rr_1}{2rr_1}$$.