Упр.545 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В конус, радиус основания которого равен $$r$$, а образующая равна $$1$$, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.
Пусть $$l=1$$ — образующая конуса, $$r$$ — радиус основания, $$O$$ — центр вписанной сферы, $$H$$ — центр основания конуса, $$K$$ и $$D$$ — точки касания сферы с боковой поверхностью конуса.
Тогда $$OH$$ — радиус сферы, а в осевом сечении конуса получаем равнобедренный треугольник $$MAB$$, где $$MA=MB=l$$, $$AH=HB=r$$. Прямая $$AO$$ — биссектриса угла $$\angle MAB$$, поэтому
$$\angle MAB=2\angle OAH.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOH$$. В нём
$$\cos \angle OAH=\frac{AH}{AM}=\frac{r}{l}.$$
Отсюда
$$\sin \angle OAH=\sqrt{1-\cos^2 \angle OAH}=\sqrt{1-\frac{r^2}{l^2}}=\frac{\sqrt{l^2-r^2}}{l}.$$
Так как сфера касается боковой поверхности конуса по окружности, радиус этой окружности равен $$DK$$. В осевом сечении
$$DK=AO\cdot \sin \angle OAH\cdot \cos \angle OAH.$$
Но $$AO=\dfrac{r}{\cos \angle OAH}$$, значит удобнее сразу записать
$$DK=r\cdot \tan \angle OAH.$$
Найдём $$\tan \angle OAH$$:
$$\tan \angle OAH=\frac{\sin \angle OAH}{\cos \angle OAH}=\frac{\sqrt{l^2-r^2}/l}{r/l}=\frac{\sqrt{l^2-r^2}}{r}.$$
Тогда
$$DK=r\cdot \frac{\sqrt{l^2-r^2}}{r}=\sqrt{l^2-r^2}.$$
При $$l=1$$ получаем
$$DK=\sqrt{1-r^2}.$$
Искомая длина линии касания — длина окружности радиуса $$DK$$:
$$c=2\pi DK=2\pi \sqrt{1-r^2}.$$
Ответ: $$2\pi \sqrt{1-r^2}$$.
