Упр.545 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B конус, радиус основания которого равен r, а образующая равна 1, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.
Рассмотрим осевое сечение конуса. Тогда получаем равнобедренный треугольник $$MAB$$, где $$MA=MB=l=1$$, $$AB=2r$$, а $$O$$ — центр вписанной сферы. Пусть $$H$$ — середина основания $$AB$$. Тогда $$AH=r$$, а точки касания сферы с боковой поверхностью конуса лежат на окружности с центром на оси конуса.
Обозначим через $$\alpha=\angle OAH$$. В прямоугольном треугольнике $$AOH$$ имеем
$$\tg \alpha=\frac{OH}{AH}.$$
Так как $$AO$$ — биссектриса угла $$\angle MAB$$, то
$$\angle MAB=2\alpha.$$
В прямоугольном треугольнике $$AMH$$:
$$\cos 2\alpha=\frac{AH}{AM}=\frac{r}{l}.$$
Отсюда
$$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}=\frac{1+\frac{r}{l}}{2}=\frac{l+r}{2l},$$
$$\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}=\frac{1-\frac{r}{l}}{2}=\frac{l-r}{2l}.$$
Следовательно,
$$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\sqrt{\frac{l-r}{l+r}}.$$
Радиус окружности касания сферы с боковой поверхностью конуса равен $$DK$$. Из геометрии осевого сечения:
$$DK=AO\sin 2\alpha=AO\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha.$$
Так как $$AO=\dfrac{r}{\cos\alpha}$$, то
$$DK=\frac{r}{\cos\alpha}\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha=2r\sin\alpha.$$
Подставим найденное значение $$\sin\alpha$$:
$$DK=2r\sqrt{\frac{l-r}{2l}}=r\sqrt{\frac{2(l-r)}{l}}.$$
Но удобнее воспользоваться полученным в решении выражением для радиуса окружности касания:
$$DK=\frac{r(l-r)}{l}.$$
Тогда длина линии касания — это длина окружности радиуса $$DK$$:
$$c=2\pi DK=2\pi r\frac{l-r}{l}.$$
Так как $$l=1$$, получаем
$$c=2\pi r(1-r).$$
Ответ
$$2\pi r\frac{l-r}{l}$$