Упр.544 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем конуса, если радиус его основания равен 6 дм, а радиус вписанной в конус сферы равен 3 дм.

Подробный ответ

Обозначим радиус основания конуса через $$R=6$$ дм, радиус вписанной сферы через $$r=3$$ дм, высоту конуса через $$h$$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно является равнобедренным треугольником с основанием $$2R$$ и высотой $$h$$. В это сечение вписана окружность радиуса $$r$$.

Пусть $$\alpha=\angle OAB$$, где $$O$$ — центр вписанной окружности, $$A$$ — конец диаметра основания осевого сечения. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AOB$$

$$\tg \alpha=\frac{OB}{AB}=\frac{r}{R}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$$

В осевом сечении угол при вершине равен $$2\alpha$$, поэтому

$$\tg 2\alpha=\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha}=\frac{2\cdot \frac12}{1-\left(\frac12\right)^2}=\frac{1}{1-\frac14}=\frac{4}{3}.$$

Но в осевом сечении

$$\tg 2\alpha=\frac{h}{R},$$

значит

$$h=R\tg 2\alpha=6\cdot \frac{4}{3}=8 \text{ дм}.$$

Теперь найдём объём конуса:

$$V=\frac13 \pi R^2 h=\frac13 \pi \cdot 6^2 \cdot 8=96\pi \text{ дм}^3.$$