Упр.544 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите объем конуса, если радиус его основания равен 6 дм, а радиус вписанной в конус сферы равен 3 дм.
Обозначим радиус основания конуса через $$R=6$$ дм, а радиус вписанной сферы через $$r=3$$ дм. Пусть $$h$$ — высота конуса.
Рассмотрим осевое сечение конуса. В этом сечении получаем равнобедренный треугольник с основанием $$2R$$ и высотой $$h$$, а вписанная сфера даёт вписанную окружность радиуса $$r$$.
Для такого треугольника радиус вписанной окружности выражается формулой
$$r=\frac{Rh}{R+\sqrt{R^2+h^2}}.$$
Подставим данные:
$$3=\frac{6h}{6+\sqrt{36+h^2}}.$$
Решим уравнение:
$$3\left(6+\sqrt{36+h^2}\right)=6h$$
$$18+3\sqrt{36+h^2}=6h$$
$$6+\sqrt{36+h^2}=2h$$
$$\sqrt{36+h^2}=2h-6$$
Возведём в квадрат:
$$36+h^2=4h^2-24h+36$$
$$3h^2-24h=0$$
$$3h(h-8)=0$$
Так как $$h>0$$, то $$h=8$$ дм.
Теперь найдём объём конуса:
$$V=\frac{1}{3}\pi R^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot 6^2\cdot 8=96\pi$$
Ответ: $$96\pi\ \text{дм}^3$$.
