Упр.542 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды является ромб со стороной а и острым углом ф. B пирамиду вписан конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол 0. Найдите объем конуса.

Подробный ответ

Пусть $$H$$ — центр основания вписанного конуса, $$r$$ — радиус его основания, $$h$$ — высота конуса, $$l$$ — образующая.

Так как конус вписан в пирамиду, то его основание — окружность, вписанная в ромб $$ABCD$$. Тогда $$H$$ — точка пересечения диагоналей ромба, а радиус основания конуса равен расстоянию от $$H$$ до стороны ромба.

Площадь ромба со стороной $$a$$ и острым углом $$\varphi$$ равна

$$S_{ABCD}=a^2\sin\varphi.$$

С другой стороны, для ромба

$$S_{ABCD}=4S_{\triangle AHB}=4\cdot \frac12\cdot AB\cdot HP=4\cdot \frac12\cdot a\cdot HP=2a\cdot HP,$$

где $$HP=r$$. Тогда

$$2a\cdot r=a^2\sin\varphi,$$

откуда

$$r=\frac{a\sin\varphi}{2}.$$

Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол $$\theta$$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса и радиусом основания, имеем

$$\tan\theta=\frac{h}{r},$$

значит

$$h=r\tan\theta=\frac{a\sin\varphi}{2}\tan\theta.$$

Теперь найдём объём конуса:

$$V=\frac13\pi r^2h.$$

Подставим найденные значения $$r$$ и $$h$$:

$$ V=\frac13\pi\left(\frac{a\sin\varphi}{2}\right)^2\cdot \frac{a\sin\varphi}{2}\tan\theta =\frac{\pi a^3}{24}\sin^3\varphi\cdot \tan\theta. $$