Упр.542 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием пирамиды является ромб со стороной $$a$$ и острым углом $$\varphi$$. В пирамиду вписан конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол $$\theta$$. Найдите объём конуса.
Пусть $$H$$ — центр ромба $$ABCD$$, а $$MH$$ — высота пирамиды. Тогда основание вписанного конуса — окружность, вписанная в ромб, поэтому её радиус равен расстоянию от точки $$H$$ до стороны ромба.
Проведём $$HP \perp AB$$. Тогда $$HP=r$$ — радиус основания конуса. Аналогично можно провести перпендикуляр к любой стороне ромба.
Найдём площадь основания пирамиды. Так как $$ABCD$$ — ромб со стороной $$a$$ и острым углом $$\varphi$$, то
$$S_{ABCD}=a^2\sin\varphi.$$
С другой стороны, площадь ромба равна произведению стороны на высоту к ней, умноженному на 2, то есть
$$S_{ABCD}=4S_{ABH}=4\cdot \frac12\cdot AB\cdot HP=2a\cdot HP.$$
Следовательно,
$$2a\cdot HP=a^2\sin\varphi,$$
откуда
$$HP=\frac{a\sin\varphi}{2}.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$MHP$$. По условию образующая конуса составляет с плоскостью основания угол $$\theta$$, значит
$$\tan\theta=\frac{MH}{HP}.$$
Отсюда
$$MH=HP\tan\theta=\frac{a\sin\varphi}{2}\tan\theta.$$
Объём конуса:
$$V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi\cdot HP^2\cdot MH.$$
Подставим найденные значения:
$$V=\frac13\pi\cdot \left(\frac{a\sin\varphi}{2}\right)^2\cdot \frac{a\sin\varphi}{2}\tan\theta =\frac{\pi a^3}{24}\sin^3\varphi\cdot \tan\theta.$$
Ответ
$$V=\frac{\pi a^3}{24}\sin^3\varphi\cdot \tan\theta.$$
