Упр.541 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник. Меньшая сторона прямоугольника равна а, а острый угол между его диагоналями равен ф]. Боковая грань, содержащая меньшую сторону основания, составляет с плоскостью основания двугранный угол ф2. Найдите объем конуса.

Пусть $$O$$ — центр основания конуса, $$H$$ — проекция вершины пирамиды на плоскость основания, $$P$$ — основание перпендикуляра из точки $$H$$ на меньшую сторону прямоугольника.

Тогда $$HP \perp AD$$, а так как боковая грань пирамиды образует с плоскостью основания двугранный угол $$\varphi_2$$, то в сечении плоскостью, перпендикулярной $$AD$$, получаем

$$\angle MPH=\varphi_2,\qquad \tan\varphi_2=\frac{MH}{HP},\qquad MH=HP\cdot\tan\varphi_2.$$

Так как пирамида вписана в конус, то вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а окружность основания конуса описана около прямоугольника $$ABCD$$. Следовательно, $$O$$ — центр прямоугольника, а $$OH\perp$ плоскости основания.

Обозначим $$AB=b$$, $$AD=a$$. По условию острый угол между диагоналями прямоугольника равен $$\varphi_1$$. Для прямоугольника

$$\tan\frac{\varphi_1}{2}=\frac{a}{b},\qquad b=\frac{a}{\tan\frac{\varphi_1}{2}}.$$

Радиус основания конуса равен половине диагонали прямоугольника:

$$r=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}.$$

Подставим $$b=\dfrac{a}{\tan\frac{\varphi_1}{2}}$$:

$$
r=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+\frac{a^2}{\tan^2\frac{\varphi_1}{2}}}
=\frac{a}{2\sin\frac{\varphi_1}{2}}.
$$

Теперь найдём высоту конуса. В прямоугольном треугольнике, образованном центром прямоугольника и его стороной, имеем

$$HP=\frac{b}{2}\cos\frac{\varphi_1}{2}=\frac{a}{2\tan\frac{\varphi_1}{2}}\cos\frac{\varphi_1}{2}
=\frac{a}{2}\cot\frac{\varphi_1}{2}.$$

Тогда

$$
h=MH=HP\cdot\tan\varphi_2
=\frac{a}{2}\cot\frac{\varphi_1}{2}\tan\varphi_2.
$$

Объём конуса:

$$
V=\frac{1}{3}\pi r^2h
=\frac{1}{3}\pi\cdot \frac{a^2}{4\sin^2\frac{\varphi_1}{2}}\cdot \frac{a}{2}\cot\frac{\varphi_1}{2}\tan\varphi_2.
$$

Упрощаем:

$$
V=\frac{\pi a^3\tan\varphi_2}{24\sin^2\frac{\varphi_1}{2}\tan\frac{\varphi_1}{2}}.
$$

Ответ

$$V=\frac{\pi a^3\tan\varphi_2}{24\sin^2\frac{\varphi_1}{2}\tan\frac{\varphi_1}{2}}$$