Упр.541 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник. Меньшая сторона прямоугольника равна $$a$$, а острый угол между его диагоналями равен $$\varphi_1$$. Боковая грань, содержащая меньшую сторону основания, составляет с плоскостью основания двугранный угол $$\varphi_2$$. Найдите объем конуса.

Подробный ответ

Пусть $$H$$ — центр основания конуса, а $$P$$ — вершина пирамиды. Тогда $$PH$$ — высота конуса. Проведём в плоскости основания прямоугольника через точку $$H$$ перпендикуляр $$HK$$ к меньшей стороне $$AB$$. Тогда $$PK \perp AB$$ по теореме о трёх перпендикулярах, а линейный угол двугранного угла равен $$\varphi_2$$, значит

$$\tan \varphi_2=\frac{PH}{HK}.$$

Следовательно,

$$PH=HK\cdot \tan \varphi_2.$$

Так как прямоугольник вписан в окружность основания конуса, то его диагонали являются диаметрами этой окружности. Обозначим радиус основания конуса через $$R$$. Тогда $$R=OA=OB=OC=OD$$, где $$O$$ — центр прямоугольника.

Острый угол между диагоналями прямоугольника равен $$\varphi_1$$, поэтому в равнобедренном треугольнике с боковыми сторонами $$R$$ и основанием $$AB=a$$ имеем

$$\angle ABO=\angle BAO=90^\circ-\frac{\varphi_1}{2}.$$

По теореме синусов в треугольнике $$ABO$$:

$$\frac{AB}{\sin \angle AOB}=\frac{OB}{\sin \angle OAB}.$$

Так как $$\angle AOB=\varphi_1$$, то

$$\frac{a}{\sin \varphi_1}=\frac{R}{\sin\left(90^\circ-\frac{\varphi_1}{2}\right)}.$$

Отсюда

$$R=\frac{a\sin\left(90^\circ-\frac{\varphi_1}{2}\right)}{\sin \varphi_1}=\frac{a\cos \frac{\varphi_1}{2}}{2\sin \frac{\varphi_1}{2}\cos \frac{\varphi_1}{2}}=\frac{a}{2\sin \frac{\varphi_1}{2}}.$$

Теперь найдём $$HK$$. В прямоугольном треугольнике $$OHK$$:

$$HK=OH\cdot \tan \frac{\varphi_1}{2}=R\cos \frac{\varphi_1}{2}\cdot \tan \frac{\varphi_1}{2}.$$

Подставляя $$R$$, получаем

$$HK=\frac{a}{2\sin \frac{\varphi_1}{2}}\cdot \cos \frac{\varphi_1}{2}\cdot \tan \frac{\varphi_1}{2}=\frac{a}{2}\tan \frac{\varphi_1}{2}.$$

Тогда высота конуса

$$PH=HK\cdot \tan \varphi_2=\frac{a}{2}\tan \frac{\varphi_1}{2}\tan \varphi_2.$$

Объём конуса:

$$V=\frac{1}{3}\pi R^2PH.$$

Подставим найденные значения $$R$$ и $$PH$$:

$$V=\frac{1}{3}\pi \left(\frac{a}{2\sin \frac{\varphi_1}{2}}\right)^2 \cdot \frac{a}{2}\tan \frac{\varphi_1}{2}\tan \varphi_2 =\frac{\pi a^3\tan \varphi_2}{24\sin^2 \frac{\varphi_1}{2}\tan \frac{\varphi_1}{2}}.$$