Упр.54 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точка B не лежит в плоскости треугольника ADC, точки M, N и P — середины отрезков BA, BC и BD соответственно. а) Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны. б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см2.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$M$$ и $$N$$ — середины отрезков $$BA$$ и $$BC$$, то $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, значит

$$MN \parallel AC,\qquad MN=\frac{AC}{2}.$$

Аналогично, в треугольнике $$BCD$$ точки $$N$$ и $$P$$ — середины отрезков $$BC$$ и $$BD$$, поэтому

$$NP \parallel CD,\qquad NP=\frac{CD}{2}.$$

В треугольнике $$BAD$$ точки $$M$$ и $$P$$ — середины отрезков $$BA$$ и $$BD$$, следовательно

$$MP \parallel AD,\qquad MP=\frac{AD}{2}.$$

Итак, в плоскости $$MNP$$ лежат прямые $$MN$$ и $$NP$$, параллельные соответственно прямым $$AC$$ и $$CD$$ плоскости $$ADC$$. Поскольку прямые $$AC$$ и $$CD$$ пересекаются, то по признаку параллельности плоскостей

$$MNP \parallel ADC.$$

Для нахождения площади заметим, что треугольники $$MNP$$ и $$ACD$$ подобны по трём сторонам, причём коэффициент подобия

$$k=\frac{MN}{AC}=\frac{1}{2}.$$

Тогда отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{MNP}}{S_{ACD}}=k^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}.$$

Следовательно,

$$S_{MNP}=S_{ACD}\cdot \frac{1}{4}=48\cdot \frac{1}{4}=12\text{ см}^2.$$