Упр.539 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что объемы двух цилиндров, у которых площади боковых поверхностей равны, относятся как их радиусы.

Пусть $$r_1,\ r_2$$ — радиусы оснований цилиндров, а $$h_1,\ h_2$$ — их высоты.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна

$$S_{\text{бок}}=2\pi rh.$$

По условию площади боковых поверхностей равны, значит

$$2\pi r_1h_1=2\pi r_2h_2,$$

откуда

$$r_1h_1=r_2h_2.$$

Объём цилиндра:

$$V=\pi r^2h.$$

Тогда

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\pi r_1^2h_1}{\pi r_2^2h_2}=\frac{r_1^2h_1}{r_2^2h_2}.$$

Из равенства $$r_1h_1=r_2h_2$$ получаем $$h_1=\frac{r_2h_2}{r_1}$$. Подставим это в отношение объёмов:

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{r_1^2\cdot \frac{r_2h_2}{r_1}}{r_2^2h_2}=\frac{r_1r_2h_2}{r_2^2h_2}=\frac{r_1}{r_2}.$$

Следовательно, объёмы двух цилиндров относятся как их радиусы.

Ответ

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{r_1}{r_2}.$$