Упр.539 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что объемы двух цилиндров, у которых площади боковых поверхностей равны, относятся как их радиусы.

Подробный ответ

Пусть у цилиндров радиусы оснований и высоты равны соответственно $$r_1, r_2$$ и $$h_1, h_2$$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле

$$S_{\text{бок}}=2\pi rh.$$

По условию площади боковых поверхностей равны, значит

$$2\pi r_1h_1=2\pi r_2h_2,$$

откуда

$$r_1h_1=r_2h_2.$$

Объём цилиндра равен

$$V=\pi r^2h.$$

Тогда

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\pi r_1^2h_1}{\pi r_2^2h_2}=\frac{r_1^2h_1}{r_2^2h_2}.$$