Упр.537 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В усеченной пирамиде соответственные стороны оснований относятся как $$2:5$$. В каком отношении делится ее объем плоскостью, проходящей через середину высоты этой пирамиды параллельно основаниям?

Пусть стороны оснований усечённой пирамиды относятся как $$2:5$$. Тогда площади оснований относятся как квадраты соответствующих сторон:

$$\frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25},$$

где $$S_1$$ — площадь меньшего основания, $$S_2$$ — площадь большего основания.

Плоскость проходит через середину высоты и параллельна основаниям, значит, она делит высоту пирамиды в отношении $$1:1$$. Следовательно, сечения, полученные этой плоскостью, подобны основаниям, а их площади изменяются линейно по квадрату коэффициента подобия.

Если высоту полной пирамиды обозначить через $$H$$, то на половине высоты линейный коэффициент подобия равен $$\frac{1}{2}$$, поэтому площадь сечения равна

$$S=\left(\frac{1}{2}\right)^2 S_2=\frac{1}{4}S_2.$$

Тогда верхняя часть усечённой пирамиды состоит из пирамиды с основанием $$S_1$$ и пирамиды с основанием $$S$$, а нижняя — из усечённой части между $$S$$ и $$S_2$$. Для объёмов подобных пирамид используем формулу

$$V=\frac{h}{3}\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}\right).$$

Пусть $$V_{\text{верх}}$$ — объём верхней части, $$V_{\text{низ}}$$ — объём нижней части. Тогда

$$\frac{V_{\text{верх}}}{V_{\text{низ}}} = \frac{S_1+S+\sqrt{S_1S}}{S+S_2+\sqrt{SS_2}}.$$

Подставим $$S_1=\frac{4}{25}S_2$$ и $$S=\frac{1}{4}S_2$$:

$$\frac{V_{\text{верх}}}{V_{\text{низ}}} = \frac{\frac{4}{25}+\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{4}{25}\cdot\frac{1}{4}}} {\frac{1}{4}+1+\sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{\frac{4}{25}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}} {\frac{1}{4}+1+\frac{1}{2}}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{V_{\text{верх}}}{V_{\text{низ}}} = \frac{\frac{16}{100}+\frac{25}{100}+\frac{20}{100}} {\frac{25}{100}+\frac{100}{100}+\frac{50}{100}} = \frac{61}{175}.$$

Значит, объём делится в отношении

$$V_{\text{верх}}:V_{\text{низ}}=61:175.$$

Ответ

$$61:175$$