Упр.536 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Два ребра тетраэдра равны $$b$$, а остальные четыре ребра равны $$a$$. Найдите объём тетраэдра, если рёбра длины $$b$$: а) имеют общие точки; б) не имеют общих точек.
Рассмотрим два случая.
а) Рёбра длины $$b$$ имеют общую вершину
Пусть $$AB=AC=AD=b$$, а остальные рёбра тетраэдра равны $$a$$: $$BC=BD=CD=a$$. Тогда основание $$\triangle BCD$$ — равносторонний треугольник со стороной $$a$$.
Обозначим через $$O$$ центр описанной окружности треугольника $$BCD$$. Тогда $$AO\perp (BCD)$$, и в равностороннем треугольнике $$BO=CO=DO=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$$.
Из прямоугольного треугольника $$AOB$$ получаем высоту тетраэдра:
$$AO=\sqrt{AB^2-BO^2} =\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}.$$
Площадь основания:
$$S_{BCD}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2.$$
Тогда объём тетраэдра равен
$$V=\frac13 S_{BCD}\cdot AO =\frac13\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\cdot \sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}} =\frac{a^2}{12}\sqrt{3b^2-a^2}.$$
б) Рёбра длины $$b$$ не имеют общих вершин
Пусть $$AB=CD=b$$, а остальные рёбра равны $$a$$: $$AC=AD=BC=BD=a$$. Тогда треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$ равны по трём сторонам, поэтому точки $$C$$ и $$D$$ симметричны относительно прямой $$AB$$ в плоскости, перпендикулярной ей.
Обозначим через $$O$$ середину ребра $$AB$$. Тогда $$CO\perp AB$$ и $$DO\perp AB$$, причём $$CO=DO$$. В треугольнике $$ABC$$ имеем
$$CO=\sqrt{AC^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2} =\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}.$$
Площадь основания $$\triangle ABC$$:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot CO =\frac12\cdot b\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}.$$
Высота тетраэдра равна расстоянию от точки $$D$$ до плоскости $$ABC$$. Из симметрии и равенства $$AC=AD$$, $$BC=BD$$ получаем, что эта высота выражается как
$$h=\frac{b}{2}\cdot \frac{\sqrt{4a^2-2b^2}}{\sqrt{4a^2-b^2}}.$$
Тогда
$$V=\frac13 S_{ABC}\cdot h =\frac13\cdot \frac12 b\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}\cdot \frac{b}{2}\cdot \frac{\sqrt{4a^2-2b^2}}{\sqrt{4a^2-b^2}} =\frac{b^2}{12}\sqrt{4a^2-2b^2}.$$
Ответ: а) $$V=\dfrac{a^2}{12}\sqrt{3b^2-a^2}$$; б) $$V=\dfrac{b^2}{12}\sqrt{4a^2-2b^2}$$.
