Упр.535 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Основанием пирамиды является ромб со стороной $$a$$. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют тупой двугранный угол $$\varphi$$. Две другие боковые грани составляют с плоскостью основания двугранные углы $$\theta$$. Найдите объём пирамиды.

Пусть $$M$$ — вершина пирамиды, а $$MB$$ — её высота. Тогда $$MB \perp (ABCD)$$.

Обозначим через $$\varphi$$ двугранный угол между гранями $$MAB$$ и $$MCB$$, а через $$\theta$$ — двугранный угол между гранями $$MCD$$ и плоскостью основания.

Так как две боковые грани перпендикулярны основанию, то линейный угол между ними равен $$\angle ABC=\varphi$$, а в ромбе $$ABCD$$

$$\angle BAD=\angle BCD=180^\circ-\varphi.$$

Проведём в плоскости основания перпендикуляры $$BT\perp AD$$ и $$BP\perp CD$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах

$$MT\perp AD,\qquad MP\perp CD.$$

Линейные углы двугранных углов между боковыми гранями и плоскостью основания равны $$\theta$$, значит

$$\angle MTB=\angle MPB=\theta.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$BMT$$ и $$BMP$$. Они равны по гипотенузе $$BM$$ и острому углу $$\theta$$, поэтому

$$BT=BP.$$

В ромбе $$ABCD$$

$$BT=AB\sin\angle BAD=a\sin(180^\circ-\varphi)=a\sin\varphi.$$

Следовательно,

$$BT=BP=a\sin\varphi.$$

Теперь из прямоугольного треугольника $$BMT$$:

$$\tan\theta=\frac{MB}{BT},$$

откуда

$$MB=BT\tan\theta=a\sin\varphi\tan\theta.$$

Площадь основания пирамиды равна площади ромба:

$$S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot \sin\angle BAD=a^2\sin(180^\circ-\varphi)=a^2\sin\varphi.$$

Тогда объём пирамиды

$$V=\frac13 S_{ABCD}\cdot MB =\frac13 \cdot a^2\sin\varphi \cdot a\sin\varphi\tan\theta =\frac13 a^3\sin^2\varphi\tan\theta.$$

Ответ

$$V=\frac13 a^3\sin^2\varphi\tan\theta.$$