Упр.535 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды является ромб со стороной а. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют тупой двугранный угол ф. Две другие боковые грани составляют с плоскостью основания двугранные углы 0. Найдите объем пирамиды.

Обозначим вершину пирамиды через $$M$$, а основание — ромб $$ABCD$$. Пусть $$MB$$ — высота пирамиды, тогда $$MB \perp (ABCD)$$.

Рассмотрим линейный угол двугранного угла между гранями $$MAB$$ и $$MCB$$. Он равен $$\angle ABC=\varphi$$, значит в основании ромба

$$\angle BAD=\angle BCD=180^\circ-\varphi.$$

Проведём в основании перпендикуляры $$BT \perp AD$$ и $$BP \perp CD$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах

$$MT \perp AD,\qquad MP \perp CD.$$

Линейные углы двугранных углов между боковыми гранями и плоскостью основания равны $$\theta$$, поэтому

$$\angle MTB=\angle MPB=\theta.$$

Треугольники $$BMT$$ и $$BMP$$ прямоугольные, а $$BM$$ — общий катет, значит они равны. Отсюда

$$BT=BP.$$

В ромбе $$ABCD$$

$$BT=AB\sin\angle BAD=a\sin(180^\circ-\varphi)=a\sin\varphi.$$

Следовательно,

$$BT=BP=a\sin\varphi.$$

Теперь из прямоугольного треугольника $$BMT$$:

$$\tan\theta=\frac{MB}{BT},$$

откуда

$$MB=BT\cdot\tan\theta=a\sin\varphi\cdot\tan\theta.$$

Найдём площадь основания пирамиды:

$$S_{ABCD}=AD\cdot AB\cdot\sin\angle BAD=a^2\sin(180^\circ-\varphi)=a^2\sin\varphi.$$

Тогда объём пирамиды равен

$$ V=\frac13 S_{ABCD}\cdot MB =\frac13 \cdot a^2\sin\varphi \cdot a\sin\varphi \cdot \tan\theta =\frac13 a^3\sin^2\varphi\cdot\tan\theta. $$

Ответ

$$V=\frac13 a^3\sin^2\varphi\cdot\tan\theta.$$