Упр.534 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием четырехугольной пирамиды, высота которой равна $$H$$, является параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются под углом $$\alpha$$. Попарно равные противоположные боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания углы $$\beta$$ и $$\gamma$$. Найдите объем пирамиды.
Пусть $$H$$ — высота пирамиды, а $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма основания. Тогда $$HO \perp (ABCD)$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды и боковыми рёбрами.
Из треугольника с углом $$\gamma$$ получаем:
$$\tan \gamma=\frac{MH}{HO}, \qquad HO=\frac{H}{\tan \gamma}.$$
Из треугольника с углом $$\beta$$ получаем:
$$\tan \beta=\frac{MH}{OC}, \qquad OC=\frac{H}{\tan \beta}.$$
Так как диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам, то
$$AC=2OC=\frac{2H}{\tan \beta}, \qquad BD=2HO=\frac{2H}{\tan \gamma}.$$
Площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними равна
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\cdot \sin \alpha.$$
Подставим найденные выражения:
$$S_{ABCD} =\frac{1}{2}\cdot \frac{2H}{\tan \beta}\cdot \frac{2H}{\tan \gamma}\cdot \sin \alpha =\frac{2H^2\sin \alpha}{\tan \beta \cdot \tan \gamma}.$$
Теперь найдём объём пирамиды:
$$V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot H =\frac{1}{3}\cdot \frac{2H^2\sin \alpha}{\tan \beta \cdot \tan \gamma}\cdot H =\frac{2H^3\sin \alpha}{3\tan \beta \cdot \tan \gamma}.$$
Ответ: $$V=\frac{2H^3\sin \alpha}{3\tan \beta \cdot \tan \gamma}.$$
