Упр.533 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием пирамиды является треугольник, два угла которого равны $$\varphi_1$$ и $$\varphi_2$$. Высота пирамиды равна $$h$$, а каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол $$\varphi_3$$. Найдите объем пирамиды.
Обозначим через $$H$$ основание высоты пирамиды. Тогда $$MH=h$$, а так как каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол $$\varphi_3$$, то в прямоугольных треугольниках $$MHA$$, $$MHB$$ и $$MHC$$ имеем
$$\angle MAH=\angle MBH=\angle MCH=\varphi_3.$$
Следовательно,
$$\tan \varphi_3=\frac{MH}{AH}=\frac{h}{AH},$$
откуда
$$AH=\frac{h}{\tan \varphi_3}.$$
Так как $$AM=BM=CM$$, то точки $$A,B,C$$ лежат на окружности с центром в $$H$$, а значит $$AH=BH=CH$$. По теореме синусов в треугольнике $$ABC$$:
$$\frac{AC}{\sin \varphi_2}=\frac{BC}{\sin \varphi_1}=\frac{AB}{\sin(\varphi_1+\varphi_2)}=2AH=\frac{2h}{\tan \varphi_3}.$$
Отсюда
$$AC=\frac{2h\sin \varphi_2}{\tan \varphi_3}, \qquad BC=\frac{2h\sin \varphi_1}{\tan \varphi_3}.$$
Площадь основания пирамиды равна
$$S_{ABC}=\frac12 \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2).$$
Подставим найденные выражения:
$$S_{ABC} =\frac12 \cdot \frac{2h\sin \varphi_2}{\tan \varphi_3}\cdot \frac{2h\sin \varphi_1}{\tan \varphi_3}\cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2) =\frac12 \left(\frac{2h}{\tan \varphi_3}\right)^2 \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 \sin(\varphi_1+\varphi_2).$$
Тогда объём пирамиды:
$$V=\frac13 S_{ABC}\cdot h =\frac13 \cdot \frac12 \left(\frac{2h}{\tan \varphi_3}\right)^2 \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 \sin(\varphi_1+\varphi_2)\cdot h.$$
Итак,
$$V=\frac{2h^3\sin \varphi_1\sin \varphi_2\sin(\varphi_1+\varphi_2)}{3\tan^2 \varphi_3}.$$
