Упр.532 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной n-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен а, a сторона основания равна а. Найдите объем пирамиды.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ центр основания правильной $$n$$-угольной пирамиды, а через $$A_1A_2$$ — сторону основания. Тогда $$MH$$ — высота пирамиды, $$MA_1$$ и $$MA_2$$ — боковые рёбра, а $$\angle A_1MA_2=\alpha$$.

Площадь основания правильного $$n$$-угольника со стороной $$a$$ равна

$$S_{\text{осн}}=\frac{na^2}{4\tg\frac{180^\circ}{n}}.$$

Найдём радиус описанной окружности основания:

$$OA_1=R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$

Рассмотрим треугольник $$A_1MA_2$$. По теореме синусов:

$$\frac{A_1M}{\sin\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{a}{\sin\alpha}.$$

Отсюда

$$A_1M=\frac{a\sin\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\alpha} =\frac{a\cos\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} =\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}.$$

В прямоугольном треугольнике $$A_1MH$$ имеем:

$$MH=\sqrt{A_1M^2-A_1H^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4\sin^2\frac{\alpha}{2}}-\frac{a^2}{4\sin^2\frac{180^\circ}{n}}}.$$

Следовательно, объём пирамиды:

$$V=\frac13 S_{\text{осн}}\cdot MH$$

$$V=\frac13\cdot \frac{na^2}{4\tg\frac{180^\circ}{n}}\cdot \frac{a}{2}\sqrt{\frac{1}{\sin^2\frac{\alpha}{2}}-\frac{1}{\sin^2\frac{180^\circ}{n}}}.$$

Итак,

$$V=\frac{na^3}{24\tg\frac{180^\circ}{n}}\sqrt{\frac{1}{\sin^2\frac{\alpha}{2}}-\frac{1}{\sin^2\frac{180^\circ}{n}}}.$$