Упр.532 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В правильной $$n$$-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен $$\alpha$$, а сторона основания равна $$a$$. Найдите объём пирамиды.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ центр правильного $$n$$-угольника основания. Тогда $$SO$$ — высота пирамиды, а $$OA_1$$ — радиус описанной окружности основания.

Площадь основания правильного $$n$$-угольника со стороной $$a$$ равна

$$S_{\text{осн}}=\frac{na^2}{4\tg\frac{180^\circ}{n}}.$$

Найдём радиус описанной окружности основания:

$$OA_1=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$

Рассмотрим треугольник $$A_1MA_2$$. Он равнобедренный, так как $$MA_1=MA_2$$. По теореме синусов:

$$\frac{MA_1}{\sin\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{a}{\sin\alpha}.$$

Отсюда

$$MA_1=\frac{a\sin\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\alpha}=\frac{a\cos\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}.$$

В прямоугольном треугольнике $$MA_1O$$ имеем

$$SO=\sqrt{MA_1^2-OA_1^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4\sin^2\frac{\alpha}{2}}-\frac{a^2}{4\sin^2\frac{180^\circ}{n}}}$$

$$=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{1}{\sin^2\frac{\alpha}{2}}-\frac{1}{\sin^2\frac{180^\circ}{n}}}.$$

Теперь объём пирамиды:

$$V=\frac13 S_{\text{осн}}\cdot SO$$

$$V=\frac13\cdot \frac{na^2}{4\tg\frac{180^\circ}{n}}\cdot \frac{a}{2}\sqrt{\frac{1}{\sin^2\frac{\alpha}{2}}-\frac{1}{\sin^2\frac{180^\circ}{n}}}.$$

Следовательно,

$$V=\frac{na^3}{24\tg\frac{180^\circ}{n}}\sqrt{\frac{1}{\sin^2\frac{\alpha}{2}}-\frac{1}{\sin^2\frac{180^\circ}{n}}}.$$