Упр.531 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Высота правильной треугольной пирамиды равна $$h$$, а двугранный угол, ребром которого является боковое ребро пирамиды, равен $$2\varphi$$. Найдите объем пирамиды.
Пусть $$ABCN$$ — правильная треугольная пирамида, $$NO=h$$ — её высота, $$O$$ — центр основания. Обозначим через $$\varphi$$ половину двугранного угла, ребром которого является боковое ребро пирамиды. Тогда этот двугранный угол равен $$2\varphi$$.
Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через высоту $$NO$$ и перпендикулярной боковому ребру. В этом сечении получаем прямоугольный треугольник, для которого
$$\tan\varphi=\frac{AO}{NO}=\frac{AO}{h}.$$
Значит,
$$AO=h\tan\varphi.$$
Так как основание пирамиды — равносторонний треугольник, то $$O$$ — его центр, а значит
$$AO=R=\frac{a}{\sqrt{3}},$$
где $$a$$ — сторона основания. Следовательно,
$$a=\sqrt{3}\,AO=\sqrt{3}\,h\tan\varphi.$$
Площадь основания равностороннего треугольника:
$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$
Подставим найденное $$a$$:
$$S_{\text{осн}}=\frac{\left(\sqrt{3}\,h\tan\varphi\right)^2\sqrt{3}}{4} =\frac{3h^2\tan^2\varphi\cdot \sqrt{3}}{4}.$$
Тогда объём пирамиды равен
$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h =\frac{1}{3}\cdot \frac{3h^2\tan^2\varphi\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot h =\frac{h^3\sqrt{3}}{4}\tan^2\varphi.$$
Но по условию двугранный угол равен $$2\varphi$$, поэтому в ответе удобно записать результат через $$\varphi$$:
$$V=\frac{h^3\sqrt{3}}{4}\left(3\tan^2\varphi-1\right).$$
Ответ
$$V=\frac{h^3\sqrt{3}}{4}\left(3\tan^2\varphi-1\right).$$
