Упр.530 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды составляет с основанием угол $$\varphi$$, а середина этого ребра удалена от основания пирамиды на расстояние, равное $$m$$. Найдите объём пирамиды.
Пусть $$ABCDM$$ — правильная четырёхугольная пирамида, $$O$$ — центр квадрата $$ABCD$$, а $$E$$ — середина бокового ребра $$AM$$. Опустим из точки $$E$$ перпендикуляр на плоскость основания; его основание обозначим через $$K$$. Тогда $$EK=m.$$
Так как $$E$$ — середина отрезка $$AM$$, а точки $$A$$ и $$M$$ находятся соответственно в плоскости основания и над ней, то расстояние от $$E$$ до плоскости основания равно половине высоты пирамиды. Значит,
$$MO=2m.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AMO$$. Угол между боковым ребром $$AM$$ и основанием равен $$\angle MAC=\varphi,$$ поэтому в прямоугольном треугольнике $$AMO$$ имеем
$$\tg\varphi=\frac{MO}{AO}.$$
Отсюда
$$AO=\frac{MO}{\tg\varphi}=\frac{2m}{\tg\varphi}.$$
Диагональ квадрата основания равна
$$AC=2AO=\frac{4m}{\tg\varphi}.$$
С другой стороны, для квадрата
$$AC=a\sqrt{2},$$
где $$a$$ — сторона основания. Тогда
$$a=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{4m}{\sqrt{2}\,\tg\varphi}=\frac{2\sqrt{2}\,m}{\tg\varphi}.$$
Теперь найдём объём пирамиды:
$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot MO =\frac{1}{3}a^2\cdot 2m.$$
Подставим найденное значение $$a$$:
$$V=\frac{1}{3}\left(\frac{2\sqrt{2}\,m}{\tg\varphi}\right)^2\cdot 2m =\frac{1}{3}\cdot \frac{8m^2}{\tg^2\varphi}\cdot 2m =\frac{16m^3}{3\,\tg^2\varphi}.$$
Ответ: $$\frac{16m^3}{3\,\tg^2\varphi}.$$
