Упр.53 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Три отрезка A1A2, BxB2 и C1C2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости AxBxCx и A2B2C2 параллельны.

Подробный ответ

Так как отрезки $$A_1A_2$$, $$B_1B_2$$ и $$C_1C_2$$ имеют общую середину, обозначим её через $$O$$. Тогда $$OA_1=OA_2$$, $$OB_1=OB_2$$, $$OC_1=OC_2$$.

Рассмотрим плоскость, проходящую через пересекающиеся прямые $$A_1A_2$$ и $$C_1C_2$$. Обозначим её через $$\alpha$$. В этой плоскости четырёхугольник $$A_1C_1A_2C_2$$ имеет диагонали $$A_1A_2$$ и $$C_1C_2$$, которые точкой $$O$$ делятся пополам. Значит, $$A_1C_1A_2C_2$$ — параллелограмм.

Следовательно, его противоположные стороны параллельны:

$$A_1C_1 \parallel A_2C_2.$$

Аналогично, из того что $$OA_1=OA_2$$ и $$OB_1=OB_2$$, получаем, что четырёхугольник $$A_1B_1A_2B_2$$ — параллелограмм, значит

$$A_1B_1 \parallel A_2B_2.$$

Теперь в плоскости $$A_1B_1C_1$$ лежат пересекающиеся прямые $$A_1B_1$$ и $$A_1C_1$$, а в плоскости $$A_2B_2C_2$$ — пересекающиеся прямые $$A_2B_2$$ и $$A_2C_2$$. При этом

$$A_1B_1 \parallel A_2B_2,\qquad A_1C_1 \parallel A_2C_2.$$

По признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Значит,

$$A_1B_1C_1 \parallel A_2B_2C_2.$$