Упр.529 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите объём правильной треугольной пирамиды, если боковая грань составляет с плоскостью основания угол $$\varphi$$, а не лежащая в этой грани вершина основания находится на расстоянии $$m$$ от неё.
Пусть $$ABC$$ — равностороннее основание правильной пирамиды $$MABC$$, $$O$$ — центр основания, $$P$$ — основание высоты $$MP$$, а $$K$$ — основание перпендикуляра, опущенного из вершины $$B$$ на ребро $$MP$$. Тогда $$BK=m$$, а двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания равен $$\varphi$$.
Так как пирамида правильная, то $$AB=BC=CA=a$$. В равностороннем треугольнике $$ABC$$ высота $$BP$$ является также медианой, поэтому
$$BP=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BKP$$. Поскольку $$BK\perp MP$$ и угол между гранью $$MBC$$ и основанием равен $$\varphi$$, имеем
$$\angle BPK=\varphi,$$
откуда
$$BP=\frac{BK}{\sin\varphi}=\frac{m}{\sin\varphi}.$$
Следовательно,
$$\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{m}{\sin\varphi},$$
то есть
$$a=\frac{2m}{\sqrt{3}\sin\varphi}.$$
Найдём площадь основания:
$$S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{4}\cdot \frac{4m^2}{3\sin^2\varphi}\cdot \sqrt{3}=\frac{m^2\sqrt{3}}{3\sin^2\varphi}.$$
Теперь найдём высоту пирамиды $$MP$$. В равностороннем треугольнике $$ABC$$ радиус вписанной окружности равен
$$OP=r=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{m}{3\sin\varphi}.$$
В прямоугольном треугольнике $$MOP$$ угол при $$P$$ равен $$\varphi$$, поэтому
$$\tan\varphi=\frac{MO}{OP},$$
откуда
$$MO=OP\cdot \tan\varphi=\frac{m}{3\sin\varphi}\cdot \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{m}{3\cos\varphi}.$$
Объём пирамиды:
$$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot MO=\frac{1}{3}\cdot \frac{m^2\sqrt{3}}{3\sin^2\varphi}\cdot \frac{m}{3\cos\varphi}=\frac{m^3\sqrt{3}}{27\sin^2\varphi\cos\varphi}.$$
Ответ
$$V=\frac{m^3\sqrt{3}}{27\sin^2\varphi\cos\varphi}.$$
