Упр.528 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Площади боковых граней наклонной треугольной призмы пропорциональны числам 20, 37, 51. Боковое ребро равно 0,5 дм, а площадь боковой поверхности равна 10,8 дм2. Найдите объем призмы.

Подробный ответ

Пусть площади боковых граней равны $$S_1=20k,$$ $$S_2=37k,$$ $$S_3=51k.$$ Тогда

$$S_{\text{бок}}=S_1+S_2+S_3=20k+37k+51k=108k.$$

По условию $$108k=10{,}8,$$ значит

$$k=0{,}1.$$

Тогда

$$S_1=20\cdot 0{,}1=2\ \text{дм}^2,$$

$$S_2=37\cdot 0{,}1=3{,}7\ \text{дм}^2,$$

$$S_3=51\cdot 0{,}1=5{,}1\ \text{дм}^2.$$

Боковое ребро призмы равно $$0{,}5\ \text{дм}.$$ Если секущая плоскость перпендикулярна боковым рёбрам, то площади боковых граней можно представить как произведения бокового ребра на соответствующие высоты бокового сечения:

$$2=h_1\cdot 0{,}5,\qquad 3{,}7=h_2\cdot 0{,}5,\qquad 5{,}1=h_3\cdot 0{,}5.$$

Отсюда

$$h_1=4\ \text{дм},\qquad h_2=7{,}4\ \text{дм},\qquad h_3=10{,}2\ \text{дм}.$$

Найдём полупериметр бокового сечения:

$$p=\frac{1}{2}(4+7{,}4+10{,}2)=10{,}8\ \text{дм}.$$

Площадь бокового сечения найдём по формуле Герона:

$$ S=\sqrt{p(p-h_1)(p-h_2)(p-h_3)} =\sqrt{10{,}8\cdot 6{,}8\cdot 3{,}4\cdot 0{,}6} =\sqrt{149{,}8176}=12{,}24\ \text{дм}^2. $$

Объём наклонной призмы равен произведению площади сечения на боковое ребро:

$$V=S\cdot 0{,}5=12{,}24\cdot 0{,}5=6{,}12\ \text{дм}^3.$$