Упр.528 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Площади боковых граней наклонной треугольной призмы пропорциональны числам $$20$$, $$37$$, $$51$$. Боковое ребро равно $$0{,}5\ \text{дм}$$, а площадь боковой поверхности равна $$10{,}8\ \text{дм}^2$$. Найдите объём призмы.

Пусть площади боковых граней равны $$S_1=20k,\quad S_2=37k,\quad S_3=51k.$$ Тогда

$$S_{\text{бок}}=S_1+S_2+S_3=(20+37+51)k=108k.$$

По условию $$108k=10{,}8,$$ значит

$$k=0{,}1.$$

Тогда

$$S_1=2,\quad S_2=3{,}7,\quad S_3=5{,}1 \quad (\text{дм}^2).$$

Пусть боковые грани пересечены плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам. Линии пересечения этой плоскости с боковыми гранями будут высотами соответствующих прямоугольных треугольников. Обозначим их через $$h_1,\ h_2,\ h_3.$$ Тогда при боковом ребре $$0{,}5$$ дм имеем:

$$S_1=h_1\cdot 0{,}5,\quad S_2=h_2\cdot 0{,}5,\quad S_3=h_3\cdot 0{,}5.$$

Отсюда

$$h_1=\frac{2}{0{,}5}=4,\quad h_2=\frac{3{,}7}{0{,}5}=7{,}4,\quad h_3=\frac{5{,}1}{0{,}5}=10{,}2.$$

Найдём полупериметр бокового сечения:

$$p=\frac{h_1+h_2+h_3}{2}=\frac{4+7{,}4+10{,}2}{2}=10{,}8.$$

Площадь бокового сечения по формуле Герона:

$$S=\sqrt{p(p-h_1)(p-h_2)(p-h_3)} =\sqrt{10{,}8\cdot 6{,}8\cdot 3{,}4\cdot 0{,}6} =12{,}24\ \text{дм}^2.$$

Объём призмы равен произведению площади бокового сечения на боковое ребро:

$$V=S\cdot 0{,}5=12{,}24\cdot 0{,}5=6{,}12\ \text{дм}^3.$$

Ответ: $$6{,}12\ \text{дм}^3.$$