Упр.527 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На трех данных параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости, отложены три равных отрезка $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$. Докажите, что объем призмы, боковыми ребрами которой являются эти отрезки, не зависит от положения отрезков на данных прямых.

Пусть $$ABC A_1B_1C_1$$ — призма, боковые рёбра которой лежат на трёх параллельных прямых $$a,\ b,\ c$$, причём

$$AA_1=BB_1=CC_1=l.$$

Так как прямые $$a,\ b,\ c$$ параллельны, то расстояния между ними постоянны, следовательно, длины отрезков, соединяющих соответствующие точки на этих прямых, не зависят от положения отрезков. Значит,

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad CA=C_1A_1,$$

и, в частности, основание призмы $$ABC$$ можно рассматривать как неизменный треугольник.

Проведём в треугольнике $$ABC$$ высоту $$CH\perp AB.$$ Тогда площадь основания призмы равна

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot CH.$$

Все величины $$AB$$ и $$CH$$ не зависят от положения отрезков на прямых $$a,\ b,\ c$$, значит, площадь основания постоянна.

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:

$$V=S_{ABC}\cdot AA_1.$$

Так как $$S_{ABC}$$ и $$AA_1$$ постоянны, то и объём призмы не зависит от положения отрезков на данных прямых.

Ответ: $$V=\text{const}.$$