Упр.526 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что объем треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до параллельного ей ребра.

Пусть $$CH$$ — высота треугольника $$ABC$$, тогда $$CH \perp AB$$. Так как боковая грань призмы $$AA_1BB_1$$ является прямоугольником, то $$AA_1 \perp AB$$ и $$BB_1 \parallel AA_1$$.

Достроим призму до параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Тогда объём параллелепипеда равен

$$V_{\text{паралл}}=AA_1\cdot BB_1\cdot CH=S_{AA_1BB_1}\cdot CH.$$

Поскольку $$CA=DB$$, $$CB$$ — общая сторона, $$AB=CD$$ и $$AA_1=DD_1$$, то призма $$ABCA_1B_1C_1$$ и призма $$BCD B_1C_1D_1$$ равны, а значит, составленный из них параллелепипед имеет объём вдвое больший, чем объём данной призмы.

Следовательно,

$$V_{\text{пр}}=\frac12V_{\text{паралл}}=\frac12S_{AA_1BB_1}\cdot CH.$$

Что и требовалось доказать.