Упр.526 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что объем треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до параллельного ей ребра.

Подробный ответ

Пусть $$CH$$ — высота треугольника $$ABC$$, тогда $$CH \perp AB$$. Так как боковая грань призмы $$ABB_1A_1$$ содержит ребро $$AB$$, то прямая $$CH$$ перпендикулярна плоскости этой грани.

Достроим треугольную призму до параллелепипеда $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$. Тогда объём параллелепипеда равен произведению площади основания $$S_{AA_1BB_1}$$ на высоту $$CH$$:

$$V_{\text{парал}}=S_{AA_1BB_1}\cdot CH.$$

Треугольная призма $$ABCA_1B_1C_1$$ составляет половину этого параллелепипеда, поэтому

$$V_{\text{пр}}=\frac12V_{\text{парал}}=\frac12S_{AA_1BB_1}\cdot CH.$$

Остаётся заметить, что $$S_{AA_1BB_1}$$ — это площадь боковой грани, а $$CH$$ — расстояние от этой грани до параллельного ей ребра $$BB_1$$. Следовательно,

$$V_{\text{пр}}=\frac12S_{\text{боковой грани}}\cdot d,$$

где $$d$$ — расстояние от боковой грани до параллельного ей ребра.