Упр.525 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна $$d$$ и составляет угол $$\varphi$$ с плоскостью другой боковой грани. Найдите объём призмы.

Подробный ответ

Пусть $$ABC A_1B_1C_1$$ — правильная треугольная призма, $$BC_1=d$$, а угол между диагональю $$BC_1$$ и плоскостью боковой грани $$AA_1C_1C$$ равен $$\varphi$$.

Опустим из точки $$B$$ перпендикуляр $$BF$$ на прямую $$AC$$. Тогда отрезок $$C_1F$$ является проекцией диагонали $$BC_1$$ на плоскость грани $$AA_1C_1C$$, поэтому

$$\angle BC_1F=\varphi.$$

В прямоугольном треугольнике $$FC_1B$$ имеем

$$FB=d\sin\varphi,\qquad FC_1=d\cos\varphi.$$

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то $$BF$$ — его высота, значит

$$BF=\frac{\sqrt{3}}{2}AB,$$

откуда

$$AB=\frac{2FB}{\sqrt{3}}=\frac{2d\sin\varphi}{\sqrt{3}}.$$

Найдём площадь основания призмы:

$$S_{\text{осн}}=S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BF =\frac{1}{2}\cdot \frac{2d\sin\varphi}{\sqrt{3}}\cdot d\sin\varphi =\frac{\sqrt{3}}{3}d^2\sin^2\varphi.$$

Теперь найдём высоту призмы $$h=CC_1$$. В прямоугольном треугольнике $$C_1FC$$:

$$FC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB=\frac{d\sin\varphi}{\sqrt{3}},$$

поэтому

$$h=\sqrt{FC_1^2-FC^2} =\sqrt{(d\cos\varphi)^2-\left(\frac{d\sin\varphi}{\sqrt{3}}\right)^2} =d\sqrt{\frac{3\cos^2\varphi-\sin^2\varphi}{3}}.$$

Тогда объём призмы равен

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h =\frac{\sqrt{3}}{3}d^2\sin^2\varphi\cdot d\sqrt{\frac{3\cos^2\varphi-\sin^2\varphi}{3}} =\frac{1}{3}d^3\sin^2\varphi\sqrt{3\cos^2\varphi-\sin^2\varphi}.$$