Упр.525 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна d и составляет угол ф с плоскостью другой боковой грани. Найдите объем призмы.

Подробный ответ

Пусть $$ABC A_1B_1C_1$$ — правильная треугольная призма, $$BC_1=d$$, а угол между диагональю $$BC_1$$ и плоскостью боковой грани $$AA_1C_1C$$ равен $$\varphi$$.

Опустим из точки $$B$$ перпендикуляр $$BF$$ на прямую $$AC$$. Тогда отрезок $$C_1F$$ является проекцией диагонали $$BC_1$$ на плоскость грани $$AA_1C_1C$$, поэтому $$\angle BC_1F=\varphi$$.

В прямоугольном треугольнике $$FC_1B$$ имеем

$$FB=d\sin\varphi,$$

а в прямоугольном треугольнике $$ABF$$, где $$\angle A=60^\circ$$, получаем

$$AB=\frac{FB}{\sin 60^\circ}=\frac{2d\sin\varphi}{\sqrt{3}}.$$

Тогда площадь основания призмы равна

$$S_{\text{осн}}=S_{ABC}=\frac{1}{2}\,AB\cdot FB=\frac{1}{2}\cdot \frac{2d\sin\varphi}{\sqrt{3}}\cdot d\sin\varphi=\frac{\sqrt{3}}{3}d^2\sin^2\varphi.$$

Найдём высоту призмы $$h=CC_1$$. Из прямоугольного треугольника $$FC_1B$$:

$$FC_1=d\cos\varphi.$$

Так как в равностороннем треугольнике $$ABC$$ точка $$F$$ — середина $$AC$$, то

$$FC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB=\frac{d\sin\varphi}{\sqrt{3}}.$$

В прямоугольном треугольнике $$CC_1F$$ получаем

$$h=CC_1=\sqrt{FC_1^2-FC^2}=\sqrt{(d\cos\varphi)^2-\left(\frac{d\sin\varphi}{\sqrt{3}}\right)^2}$$

$$=d\sqrt{\frac{3\cos^2\varphi-\sin^2\varphi}{3}}.$$

Теперь объём призмы:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{\sqrt{3}}{3}d^2\sin^2\varphi\cdot d\sqrt{\frac{3\cos^2\varphi-\sin^2\varphi}{3}}$$

$$=\frac{1}{3}d^3\sin^2\varphi\sqrt{3\cos^2\varphi-\sin^2\varphi}.$$