Упр.524 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен $$3\ \text{м}^3$$, а наименьшая и наибольшая из площадей боковых граней равны $$3\ \text{м}^2$$ и $$3\ \text{Jb}\ \text{м}^2$$. Найдите длины рёбер призмы.

Подробный ответ

Обозначим стороны прямоугольного треугольника основания так: $$AC=b,$$ $$BC=a,$$ $$\angle C=90^\circ,$$ а высоту призмы — $$AA_1=c.$$ Тогда

$$AB=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Площади боковых граней прямой призмы равны произведениям соответствующих сторон основания на высоту:

$$S_{AA_1CC_1}=bc,$$ $$S_{CC_1BB_1}=ac,$$ $$S_{AA_1BB_1}=c\sqrt{a^2+b^2}.$$

По условию наименьшая и наибольшая площади боковых граней равны $$3\ \text{м}^2$$ и $$3\sqrt5\ \text{м}^2$$. Так как $$a<b,$$ то наименьшая площадь равна $$ac,$$ а наибольшая — $$c\sqrt{a^2+b^2}.$$ Получаем систему:

$$\begin{cases} ac=3,\\ c\sqrt{a^2+b^2}=3\sqrt5,\\ V=\dfrac12 abc=3. \end{cases}$$

Из формулы объёма:

$$\frac12 abc=3 \;\Rightarrow\; abc=6.$$

Совместим это с $$ac=3$$:

$$b=\frac{6}{ac}=\frac{6}{3}=2.$$

Теперь из $$ac=3$$ имеем $$a=\dfrac{3}{c}.$$ Подставим в равенство для наибольшей боковой грани:

$$c\sqrt{a^2+b^2}=3\sqrt5$$
$$c\sqrt{\left(\frac{3}{c}\right)^2+2^2}=3\sqrt5$$
$$c\sqrt{\frac{9}{c^2}+4}=3\sqrt5.$$

Возведём в квадрат:

$$9+4c^2=45$$
$$4c^2=36$$
$$c=3.$$

Тогда

$$a=\frac{3}{c}=1,\qquad b=2.$$

Найдём третью сторону основания: