Упр.524 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен 3 м3, а наименьшая и наибольшая из площадей боковых граней равны 3 м2 и 3 Jb м2. Найдите длины ребер призмы.

Подробный ответ

Обозначим стороны прямоугольного треугольника основания так: $$AC=b,$$ $$BC=a,$$ $$\angle C=90^\circ,$$ а боковое ребро призмы пусть равно $$AA_1=c.$$ Тогда

$$AB=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Площади боковых граней прямой призмы равны произведениям соответствующих сторон основания на боковое ребро:

$$S_{AA_1BB_1}=c\cdot AB=c\sqrt{a^2+b^2},$$

$$S_{AA_1CC_1}=bc,$$

$$S_{BB_1CC_1}=ac.$$

По условию наименьшая и наибольшая площади боковых граней равны $$3\text{ м}^2$$ и $$3\sqrt5\text{ м}^2.$$ Так как $$a<b,$$ то наименьшая из площадей равна $$ac,$$ а наибольшая — $$c\sqrt{a^2+b^2}.$$ Получаем систему:

$$ \begin{cases} ac=3,\\ \frac12 ab\cdot c=3,\\ c\sqrt{a^2+b^2}=3\sqrt5. \end{cases} $$

Из первых двух уравнений:

$$ac=3,$$

$$\frac12 abc=3 \;\Rightarrow\; \frac12\cdot 3\cdot b=3 \;\Rightarrow\; b=2.$$

Теперь из $$ac=3$$ имеем $$a=\dfrac{3}{c}.$$ Подставим это в третье уравнение:

$$ c\sqrt{a^2+b^2}=3\sqrt5 $$

$$ c\sqrt{\frac{9}{c^2}+4}=3\sqrt5 $$

Возведём в квадрат:

$$ 9+4c^2=45 $$

$$ 4c^2=36,\qquad c^2=9,\qquad c=3. $$

Тогда

$$a=\frac{3}{3}=1.$$